Великая Теорема Ферма, стр. 74
Приложение 10. Пример доказательства по индукции
В математике важно иметь точные формулы, позволяющие вычислять сумму различных последовательностей чисел. В данном случае мы хотим вывести формулу, дающую сумму первых n натуральных чисел.
Например, «сумма» всего лишь одного первого натурального числа 1 равна 1; сумма двух первых натуральных чисел 1+2 равна 3, сумма первых трех натуральных чисел 1+2+3 равна 6, сумма первых четырех натуральных чисел 1+2+3+4 равна 10 и т. д.
Возможно, что требуемая формула имеет вид
?(n) = ?·n(n + 1).
Иначе говоря, если требуется найти сумму n первых натуральных чисел, то нужно просто подставить число n в приведенную выше формулу и получить ответ.
Доказательство по индукции позволяет убедиться в том, что эта формула дает правильный ответ при любом натуральном числе от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что формула работает в первом случае, при n=1. В этом нетрудно убедиться непосредственно, так как мы знаем, что сумма, состоящая из одного-единственного слагаемого, числа 1, равна 1. Подставляя n=1 в нашу формулу убеждаемся в том, что она дает правильный результат:
?(1) = ?·1·(1 + 1).
Следующий шаг в доказательстве по индукции заключается в том, чтобы показать, что если формула верна при каком-то значении n, то она должна быть верна и при n+1. Если
?(n) = ?·n(n + 1).
то
?(n + 1) = ?(n) + (n + 1) = ?·n(n + 1) + (n + 1).
После преобразования членов в правой части получаем
?(n + 1) = ?·(n + 1)[(n + 1) + 1].
Важно отметить, что последняя формула «устроена» точно так же, как исходная формула с той лишь разницей, что там, где в исходной формуле стоит n, в новой формуле стоит n+1. Иначе говоря, если формула верна для n, то она должна быть верна и для n+1. Доказательство по индукции завершено.
Указания для дальнейшего чтения
При создании книги я опирался на многие книги и статьи. Помимо тех источников, которыми я пользовался при написании каждой главы, мною указаны материалы, которые могут представить интерес как для обычного читателя, так и для специалиста. В тех случаях, когда заголовок источника не позволяет судить о том, какое отношение данный источник имеет к теме книги, я счел возможным пояснить содержание источника одной или двумя фразами.
1 Bell Е. Т. The Last Problem. — Mathematical Association of America, 1990.
История классического периода поисков доказательства Великой теоремы Ферма в популярном изложении.
2 Ralph L. Pythagoras — A Short Account of His Life and Philosophy. — Krikos, 1961.
3 German P. Pythagoras — A Life. — Routledge and Paul Kegan, 1979.
4 Heath Th. A History of Greek Mathematics. Vol. 1, 2. — Dover, 1981.
5 Gardner M. Mathematical Magic Show. — Knopf, 1977.
Сборник математических задач-головоломок по материалам раздела «Математические игры» журнала «Scientific American».
6 Stollum H.-H. River meandering as a self-organization process // Science, 1996. Vol. 271, P. 1710–1713.
1 Mahoney M. The Mathematical Career of Pierre de Fermat. — Princeton University Press, 1994.
Подробное исследование, посвященное жизни и деятельности Пьера де Ферма.
2 Huffman P. Archimedes' Revenge. — Penguin, 1988.
Увлекательные рассказы о радостях и горестях математики.
1 Bell Е. Т. Men of Mathematics. — Simon and Schuster, 1937.
Биографии величайших гениев в истории математики: Эйлера, Ферма, Гаусса, Коши и Куммера.
2 Lloyd M., Dybas H. S. The periodical cicada problem // Evolution, 1966. Vol. 20, P. 466–505.
3 Osen L. M. Women in Mathematics. — MIT Press, 1994.
В основном, это нематематический текст с биографиями многих выдающихся математиков-женщин, в том числе Софи Жермен.
4 Peri Т. Math Equals: Biographies of Women Mathematicians + Related Activities. — Addison-Wesley, 1978.
5 Mozans H.J. Women in Science. — D.Appleton and Co, 1913.
6 Dahan D. A. Sophie Germain // Scientific American, December 1991.
Краткая статья о жизни и трудах Софи Жермен.
7 Edwards H. M. Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. — Springer, 1977.
Математическое обсуждение Великой теоремы Ферма, включающее подробное изложение некоторых ранних попыток доказательства.
8 Burton D. Elementary Number Theory. — Allyn & Bacon, 1980.
Различные сообщения О. Коши Парижской академии наук. In: С. R. Acad. Sci., Paris, 1847. Vol. 24, P. 407–416, 469–483.
9 Lame G. Note au sujet de la demonstration du theoreme de Fermat // C. R. Acad. Sci., Paris, 1847. Vol. 24, P. 352.
10 Kummer Е. Е. Extrait d'une lettre de M. Kummer a M. Liouville // J. Math. Pures et Appl., 1847. Vol. 12, P. 136. Также см. Kummer Е. Е. Collected Papers. Vol. 1 (Ed. by A. Weil) — Springer, 1975.
11 Lines M. Е. A Number for Your Thoughts. — Adam Hilger, 1986.
Факты и измышления о числах от Евклида до новейших компьютеров, в том числе чуть более подробное изложение гипотезы о точках.
1 Davis P. J., Chinn W. О. 3,1415 and All That. — Birkhauser, 1985.
Истории о математике и математиках, в том числе глава о Пауле Вольфскеле.
2 Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin, 1986.
3 Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Puzzles. — Penguin, 1982.
4 Loyd S. Ju. Sam Loyd and his Puzzles. — Barse and Co, 1928.
5 Loyd S. Mathematical Puzzles of Sam Loyd. Ed. By Martin Gardner. — Dover, 1959.
6 Northropp Е. P. Riddles in Mathematics. — Van Nostrand, 1944.
7 Lodge D. The Picturgoers. — Penguin, 1993.
8 Ribenboim P. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. — Springer, 1980.
Обзор различных попыток доказательства Великой теоремы Ферма, написанный до работ Эндрю Уайлса. Рассчитан на аспирантов-математиков.
9 Devlin К. Mathematics: The Science of Patterns. — Scientific American Library, 1994.
Великолепно иллюстрированная книга, поясняющая математические понятия на удивительно наглядных образах.
10 Devlin К. Mathematics: The New Golden Age. — Penguin, 1990.
Общедоступный подробный обзор современной математики, содержащий помимо прочего обсуждение аксиом математики.
11 Stewart I. The Concepts of Modern Mathematics. — Penguin, 1995.
12 Russell В., Whitehead A. N. Principia Mathematica. 3 Vols. — Cambridge University Press, 1910–1913.
13 Kreisel G. Kurt Godel. In: Biographical Memoirs of the Fellows of the Royal Society, 1980.
14 Hardy G. H. A Mathematician's Apology. — Cambridge University Press, 1940.
Один из наиболее выдающихся математиков XX века излагает свою точку зрения на мотивы своей профессиональной деятельности и деятельности других математиков.
15 Hodges A. Alan Turing: The Enigma of Intelligence. — Unwin Paperbacks, 1983.
Очерк жизни Алана Тьюринга, рассказывающий о его жизни; математическом творчестве и участии в раскрытии кода «Энигма».
1 Shimura G. Yutaka Taniyama and his time. — Bulletin of the London Mathematical Society, 1989. Vol. 21, P. 186–196.
Очерк жизни и творчества Ютаки Таниямы, написанный с весьма личной точки зрения.
2 Frey G. Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations // Ann. Univ. Sarav. Math. Ser., 1986. Vol. 1, P. 1–40.