Великая Теорема Ферма, стр. 69

Кароль Бездек, который больше года работал в контакте с Хзянем, пытался заполнить пробелы в его доказательстве, и представил в «Journal» статью, содержащую контрпример одной из лемм Хзяня. Публикация статьи Бездека затянулась надолго — с декабря. Столь долгий срок бывает иногда необходим для рецензирования статьи, но не совсем обычен для контрпримера к самой разрекламированной статье, опубликованной в «Journal» за многие годы».

Доказательства на чипах

В первой схватке с Великой теоремой Ферма единственным оружием Уайлса были карандаш, бумага и чистая логика. И хотя его доказательство использует самые современные методы теории чисел, оно выдержано в лучших традициях Пифагора и Евклида. Но недавно появились зловещие признаки того, что доказательство Уайлса, возможно, стало одним из последних примеров классического доказательства, и будущие доказательства столь сложных проблем будут полагаться не столько на изящные рассуждения, сколько на грубую силу.

Первые признаки того, что некоторые называют упадком математики, появились в октябре 1852 года в Англии, когда Фрэнсис Гатри, который мог уделять математике лишь часть своего времени, предложил одну, на первый взгляд, безобидную задачу. Однажды, раскрашивая от нечего делать карту графств Британии, Гатри наткнулся на головоломку, которая показалась ему простой, хотя решить ее он так и не сумел. Гатри просто хотел узнать, каково минимальное число красок необходимо взять для раскраски любой мыслимой карты при условии, чтобы никакие две смежные области (имеющие общую границу) не оказались окрашенными в один и тот же цвет.

Например, для раскрашивания карты, изображенной на рисунке, трех красок недостаточно. Следовательно, для раскрашивания некоторых карт необходимы по крайней мере четыре краски. Гатри хотел узнать, окажется ли четырех красок достаточно для раскрашивания всех карт, или для некоторых карт могут потребоваться пять, шесть или больше красок.

 Разочарованный неудачей, но заинтригованный, Гатри упомянул об этой задаче в беседе со своим братом Фредериком, студентом Университетского колледжа в Лондоне. Тот, в свою очередь, рассказал о ней своему профессору, знаменитому Августу Де Моргану, который в письме от 23 октября сообщил великому ирландскому математику и физику Уильяму Роэну Гамильтону: «Мой студент попросил меня сегодня объяснить одну задачу, которая мне не была ранее известна и пока не понятна до конца. Он утверждает, что если любую фигуру разделить любым способом на части и раскрасить их различными красками так, чтобы фигуры, имеющие общий отрезок граничной линии, были окрашены в различные цвета, то всего потребуются четыре краски, но не больше. Мне известен случай, когда требуется четыре краски. Вопрос: нельзя ли придумать случай, когда необходимы пять или более красок?.. Если Вы придумаете очень простой пример, который покажет, насколько я глуп, то, думается, мне надо будет поступить, как Сфинксу» [24].

Гамильтону не удалось придумать карту, для раскраски которой потребовалось бы пять цветов, но он не сумел и доказать, что такой карты не существует. Весть о проблеме четырех красок быстро распространилась по Европе, но, несмотря на все усилия, проблема упорно не поддавалась решению, хотя казалась простой. Герман Минковский однажды на лекции заявил, что проблема четырех красок не была решена потому, что найти решение пытались только третьеразрядные математики. Но и его собственные усилия в течение нескольких недель не увенчались успехом. «Небеса разгневались на меня за мое высокомерие, — вынужден был признать Минковский. — Мое доказательство также оказалось с изъяном».

Автор задачи о четырех красках Фрэнсис Гатри вскоре покинул Англию и отправился в Южную Африку, где занялся адвокатской деятельностью. Но в конце концов он вернулся к математике, став профессором Кейптаунского университета. Впрочем, Гатри проводил больше времени на ботаническом факультете, чем со своими коллегами-математиками. Помимо проблемы четырех красок его единственной заявкой на славу стало описание вереска, названого в его честь Erica guthriei.

 Фрэнсис Гатри понял, что карту графств Британии он мог бы раскрасить всего лишь в четыре цвета, причем так, что никакие два соседних графства не оказались бы раскрашенными в один и тот же цвет. Затем он стал размышлять над тем, хватит ли четырех цветов для аналогичной раскраски любой другой карты

Проблема четырех красок оставалась нерешенной четверть века. Надежда на успех появилась в 1879 году, когда британский математик Альфред Брей Кемпе опубликовал в «American Journal of Mathematics» статью, в которой, по его утверждению, содержалось решение головоломки Гатри. Казалось, Кемпе удалось доказать, что для раскраски любой карты требуется самое большее четыре краски, и тщательное изучение доказательства вроде бы подтверждало его правильность. Кемпе был тотчас же избран членом Королевского общества, а позднее возведен в рыцарское звание за вклад в развитие математики.

Но в 1890 году лектор Дурхэмского университета Перси Джон Хивуд опубликовал работу, потрясшую математический мир. Через десять лет после того, как Кемпе, казалось бы, решил проблему четырех красок, Хивуд не оставил от его решения камня на камне, показав, где в решении Кемпе была допущена принципиальная ошибка. Единственной хорошей новостью было то, что Хивуду удалось получить оценку для максимального числа красок: оно могло быть равно четырем или пяти, но не более.

Хотя Кемпе, Хивуду и другим так и не удалось решить проблему четырех красок, их попытки внесли большой вклад в новый раздел математики — топологию. В отличие от геометрии, которая занимается изучением точной формы и размеров объекта, топологию интересуют только самые фундаментальные свойства объекта, составляющие его суть.

Например, когда геометр изучает квадрат, его интересуют такие свойства квадрата, как равная длина сторон и то, что все внутренние углы квадрата прямые. Когда же тополог изучает квадрат, его интересует только то обстоятельство, что контур квадрата представляет одну сплошную замкнутую линию, т. е. по существу — петлю. Поэтому для тополога окружность неотличима от квадрата, поскольку окружность также представляет собой одну петлю. Математик Джон Келли как-то раз заметил: «Тополог — это тот, кто не отличает бублик от кофейной чашки».

Топологическую эквивалентность квадрата и окружности можно наглядно представить себе и другим способом, вообразив, что квадрат или окружность начерчены на резиновом листе. Если выбрать за исходную фигуру квадрат, то, растягивая, сжимая, изгибая и перекручивая резиновый лист (но не разрывая его и не склеивая никакие точки), квадрат можно превратить в окружность. С другой стороны, квадрат невозможно превратить в крест, как бы мы ни деформировали резиновый лист. Следовательно, квадрат и крест топологически не эквивалентны. Из-за такого подхода к наглядному представлению топологических свойств фигур топологию часто называют «геометрией на резиновом листе».

Отказавшись от таких понятий, как длина и угол, топологи могут отличать объекты по таким свойствам, как число точек пересечения, которыми обладает объект. По точкам пересечения восьмерка существенно отличается от окружности, так как у восьмерки имеется точка, где пересекаются четыре линии, тогда как у окружности точек пересечения нет вообще. Сколько бы мы ни растягивали и ни изгибали восьмерку, ее невозможно превратить в окружность. Топологи занимаются также изучением трехмерных объектов (и даже объектов более высокой размерности), у которых их внимание привлекают такие фундаментальные свойства, как дыры, петли и узлы.

Математики надеялись, что рассматривая карты через упрощающие линзы топологии, они сумеют постичь самую суть проблемы четырех красок. Первый успех пришел в 1925 году, когда Филип Франклин, оставив в стороне общую проблему четырех красок, сумел доказать, что для раскрашивания любой карты, содержащей не более 25 областей, требуются только четыре краски. Другие математики попытались использовать метод Франклина, и в 1926 году Рейнольдс обобщил доказательство Франклина, сумев довести число областей до 27. В 1940 году Винн распространил доказательство на карты с 35 областями, а в 1970 году Оре и Стемпл увеличили число областей до 39. Казалось, история проблемы четырех красок повторяет историю Великой теоремы Ферма: продвижение к бесконечно многим областям происходило медленно. В правильности исходной гипотезы Гатри почти не было сомнений, но до тех пор, пока не получено доказательство для общего случая, всегда оставалась возможность, что кому-нибудь все же удастся начертить карту, которая опровергнет эту гипотезу. И, действительно, в 1975 году известный популяризатор науки и многолетний ведущий раздела «Математические игры» журнала «Scientific American» Мартин Гарднер опубликовал карту, для раскрашивания которой якобы требовались пять красок. Однако номер журнала «Scientific American» вышел 1 апреля, а Гарднер был великолепно осведомлен о том, что хотя раскрасить его карту четырьмя красками довольно трудно, но отнюдь не невозможно. Возможно, вы захотите попробовать сделать это сами. Карта, о которой идет речь, изображена на рис. 28.