Великая Теорема Ферма, стр. 38
Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Причина заключается в следующем. Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение
при n, бoльших 2, не имеет решений в целых числах. Если бы Великая теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т. е. она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.
Из любопытства
Заметка на полях «Арифметики» Диофанта, сделанная рукой Пьера де Ферма, породила одну из самых трудных головоломок в истории математики. Несмотря на триста лет блистательных провалов и предположение Гёделя о том, что возможно, охота идет за несуществующим доказательством, проблема Ферма по-прежнему неудержимо привлекала некоторых математиков. Великая теорема Ферма была математической сиреной, манившей гениев только для того, чтобы вдребезги разбить их надежды. Всякий математик, решивший заняться Великой теоремой Ферма, рисковал напрасно потратить свои наиболее активные годы. Но тот, кому удалось бы совершить решающий прорыв, вошел бы в историю, как человек, нашедший решение самой трудной задачи в мире.
Великая теорема Ферма захватила помыслы поколений математиков по двум причинам. Во-первых, ими двигало неудержимое желание продемонстрировать свое превосходство. Великая теорема Ферма была неоспоримым критерием, и всякий, кто сумел бы ее доказать, добился бы успеха там, где потерпели неудачу Коши, Эйлер, Куммер и многие другие математики. Подобно тому, как сам Ферма получал величайшее удовольствие от решения задач, ставивших в тупик его современников, тот, кому удалось бы найти доказательство Великой теоремы Ферма мог бы порадоваться тому, что сумел решить проблему, которая несколько веков возвышалась неприступной крепостью перед математическим сообществом. Во-вторых, каждый, кому удалось бы ответить на вызов Ферма, мог бы испытать чувство неслыханного удовлетворения от того, что сумел решить труднейшую головоломку. Восторг, получаемый от решения сложнейшей проблемы теории чисел, доступной только пониманию посвященных, мало чем отличается от простой радости от решения тривиальных головоломок Сэма Лойда. Один математик как-то поведал мне, что удовольствие, получаемое им от решения математических проблем, имеет много общего с удовольствием, получаемым от решения кроссвордов. Заполнение последних пустых клеточек особенно трудного кроссворда всегда приносит удовлетворение — но какую же радость должен испытывать тот, кто после многих лет безуспешных попыток решить головоломку, которую до него не удавалось решить никому в мире, все-таки сумел найти решение.
По этим же самым причинам Эндрю Уайлс оказался околдованным волшебными чарами Великой теоремы Ферма: «Те, кто занимаются чистой математикой, любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает это великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для вас полную загадку. Вы не можете ее понять — настолько она сложна, Вы не имеете ни малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности деталей и целого. Самыми коварными следует считать те задачи, которые кажутся простыми, но на самом деле оказываются необычайно трудными. Великая теорема Ферма — самый прекрасный пример такого рода проблем. Она выглядит так, будто доказательство должно существовать, и к тому же обладает особенной загадочностью: Ферма утверждал, что нашел ее доказательство».
Математика находит многочисленные приложения в науке и технике, но не они служат главным стимулом развития. Ученых вдохновляет радость открытия. Г. Г. Харди в своей книге «Апология математика» попытался объяснить эту особенность науки и оправдать свою деятельность чистого математика:
«Я только хочу сказать, что если шахматная задача, грубо говоря, «бесполезна», то столь же бесполезна и значительная часть самой лучшей математики… Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно из моих открытий ни на йоту не изменило (и вряд ли изменит), прямо или косвенно, в лучшую или в худшую сторону, прелести мира. Если судить по практическим меркам, то ценность моей математической жизни равна нулю, но в любом случае вне математики она и вовсе бессодержательна. У меня только один шанс избежать вердикта полной бесполезности — если люди сочтут, что мне удалось создать нечто, достойное быть созданным. То, что я создал кое-что, не подлежит сомнению, — вопрос лишь в том, насколько ценно то, что я создал».
В основе стремления решить любую математическую проблему лежит главным образом любопытство, а наградой служит простое, но огромное удовлетворение. Математик Э.Ч. Титчмарш однажды сказал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо».
В случае Великой теоремы Ферма недостатка в любопытстве не было. Работа Гёделя о неразрешимости внесла элемент сомнения в вопрос о том, разрешима ли проблема Ферма, но истинных фанатиков Великой теоремы Ферма это ничуть не разочаровало. Гораздо более разочаровывающим было то, что с 30-х годов математики исчерпали все имевшиеся у них методы, а новых методов появилось явно недостаточно.
Вторая мировая война обусловила гигантский скачок в развитии со времен изобретения логарифмической линейки. И следующим этапом в направлении доказательства теоремы Ферма стало развитие вычислительной техники и криптографии.
Подход с позиций грубой силы
Когда в 1940 году Г.Г. Харди заявил о том, что самая первоклассная математика в основном бесполезна, он тут же был вынужден добавить, что это не обязательно плохо: «Настоящая математика не оказывает влияния на ведение войн. Никто еще не открыл ни одного применения теории чисел в военных целях». Вскоре выяснилось, что Харди заблуждался.
В 1944 году Джон фон Нейман в соавторстве с Оскаром Моргенштерном написал книгу «Теория игр и экономическое поведение», в которой ввел придуманный им термин «теория игр». Фон Нейман попытался использовать математику для описания структуры игр и того, как люди играют в них. Он начал с шахмат и покера, а затем попытался построить модели более сложных игр — таких, как экономика. После второй мировой войны корпорация RAND оценила потенциал идей фон Неймана и пригласила его принять участие в разработке стратегии холодной войны. С той поры математическая теория игр стала основным средством, с помощью которого генералы проверяют разрабатываемые ими стратегии, рассматривая вооруженные конфликты как усложненный вариант шахматных партий. Простой иллюстрацией применения теории игр к анализу военных операций служит задача о труэли.
Труэль аналогична дуэли, но с тремя участниками вместо двух. Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех — без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив).
Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел? Вы можете попытаться ответить на этот вопрос, опираясь на свою интуицию, но лучше все же, если ваш ответ будет основан на теории игр. Решение задачи см. в Приложении 9.