Империя – II, стр. 133
Вероятность успеха в одном испытании при этом пропорциональна числу k_i уже размещенных имен u_i (точнее говоря, пренебрегая влиянием случайного перекрытия связывающих окрестностей этих имен, получаем, что эта вероятность равна 2pk_i/n). Общее количество испытаний при этом равно k_j. Среднее число успехов (=среднее значение ненормированной связи l_0(u_i, u_j)) пропорционально произведению вероятности успеха в одном испытании на число испытаний, то есть пропорционально k_ik_j. Это и утверждается в лемме.
б) Рассмотрим случай i=j. Выберем последовательность размещения имен таким образом, чтобы сначала размещались все k_i экземпляров имени u_i, а затем – все остальные имена. Пусть первый экземпляр имени u_i уже размещен. Вероятность того, что при размещении второго экземпляра он попадет в связывающую окрестность к уже размещенному первому экземпляру этого имени, равна 2p/n (здесь мы пренебрегаем вероятностью того, что первый экземпляр попал на самый край списка, и захват его связывающей окрестности оказался меньше, чем 2p, по сравнению с вероятностью того, что это не так).
Аналогично, пренебрегая малыми вероятностями перекрытий связывающих окрестностей (слагаемыми второго порядка), получаем, что третий экзеипляр имени u_i попадает в связывающую окрестность к одному из уже размещенных экземпляров с вероятностью 2(2p/n) и т. д. Для i-того экземпляра эта вероятность равно (i-1)2p/n.
Введем случайные величины h_i (2? i? k_i), положив по определению h_i=1 если i-й экземпляр имени u_i при своем размещении попал в связывающую окрестность к одному из уже размещенных (i-1) экземпляров этого имени, и h_i=0 иначе. Тогда, согласно приведенным рассуждениям,
Ph_i=1 = (i-1)2p/n, (2? i? k_i).
Заметим теперь, что число «встреч» имен u_i в списке Х (где под встречей понимается попадание пары имен в связывающую окрестность друг к другу) равняется сумме случайных величин h_i:
k_i
l_o(u_i, u_j) = S h_i.
i=2
Следовательно, математическое ожидание (среднее значение) связи l_0(u_i, u_j) равно
Дело в том, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий,
а M[h_i] = Ph_i=1 = (i-1)2p/n.
Лемма доказана.
Следствие. Среднее значение связи l(u_i, u_j) двух имен, входящих в правильный хронологический список Х, не зависит от выбора пары имен (u_i, u_j) и, следовательно, является характеристикой списка Х и параметров модели.
Это среднее мы будем обозначать через а(Х). Из доказательства леммы следует, что а(Х) = 2p/n.
Генеральное (теоретическое) среднее а(Х) мы будем называть средним по размещениям в отличие от эмпирического среднего по матрице, получаемого усреднением фактических значений связи пар имен по всем парам имен, входящих в данный список Х.
Последнее название объясняется тем, что значения связи пар имен списка естественным образом составляют некоторую квадратую матрицу.
Замечание. Сформулированное выше предположение aposteriori подтверждается для реальных правильных хронологических списков (летописей) тем, что для них эмпирическое среднее по матрице практически совпадает с генеральным средним по размещениям а(Х) (вычисленным с помощью этого предположения).
Если же список содержит дубликаты, то для него, как показали расчеты, среднее по матрице обычно чуть больше, чем среднее по размещениям.
Но различие между этими величинами было невелико для всех рассмотренных нами реальных исторических списков. Это – отражение того обстоятельства, что даже в том случае, когда хронологический список имен содержит дубликаты, доля пар-дубликатов среди общего количества всех пар определяющих окрестностей, обычно невелика.
В соответствии с описанной в главе 1 моделью возникновения дубликатов в хронологический списках (см., например, модельную задачу о колодах карт), введем меру связи двух произвольных определяющих окрестностей Д_r, Д_s в списке Х.
Эта мера отражает количество «связывающих летописей» для данной пары отрезков списка, нормированное таким образом, чтобы при отсутствии дубликатов в списке, оно сохраняло бы приблизительно одно и то же значение для всех пар определяющих окрестностей списка Х.
Более точно, мера связи двух отрезков списка подбиралась таким образом, чтобы в случае правильного списка (который мы, в соответствии со сделанным предположением, рассматриваем как некоторый случайный элемент) среднее значение этой меры не зависело бы от выбора конкретной пары отрезков, то есть было бы единым для всего списка Х.
Определение.
Пусть дан хронологический список имен Х и фиксированы параметры модели k и p. Назовем связью двух определяющих окрестностей Д_r и Д_s списка Х число
r+k s+k
c
L_0(Д_r, Д_s) = – l(a_i, a_j).
(2k + 1)^2
i=r-k j=s-k
j=i
Здесь c – постоянная масштаба, задаваемая из соображений удобства вычислений (мы брали значение c=25).
Лемма 2.
Если хронологический список имен Х не содержит дубликатов (является правильным) и выполнены предположения Леммы 1, то среднее значение по размещениям для связи L_0(Д_r, Д_s) не зависит от Д_r и Д_s и равно cа(Х).
Доказательство.
Утверждение Леммы 2 следует из Леммы 1 и из того, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме их средних значений. Заметим, что число слагаемых в двойной сумме, определяющей значение связи L_0(Д_r, Д_s), равно множителю (2k + 1)^2, стоящему в знаменателе. Следовательно, среднее значение по размещениям для связи L_0(Д_r, Д_s) равняется среднему значению по размещениям для связи l(a_i, a_j), умноженному на c, то есть равно cа(Х).
Лемма 2 доказана.
4. Зависимость связи l_0 от числа общих имен в определяющих окрестностях
Изучим характер зависимости между величиной связи L_0 двух определяющих окрестностей Д_r и Д_s и количеством общих имен в этих окрестностях (с учетом кратности вхождения имен в Д_r и Д_s).
Определение.
Числом общих имен двух определяющих окрестностей Д_r(k) и Д_s(k) в списке Х (с учетом кратностей) назовем число:
r+k s+k
O(Д_r, Д_s) = д(a_i, a_j),
i=r-k j=s-k
где д(a_i, a_j)=1 если a_i=a_j (то есть имена a_i и a_j одинаковы) и равно нулю иначе.
Другими словами, O(Д_r, Д_s) – это число пар из декартового произведения Д_r x Д_s, таких, что в паре стоят одинаковые имена.
В рассмотренных нами случаях реальных хронологических списков, описывающих древнюю и средневековую историю Европы, обнаружилось весьма примечательное обстоятельство:
Значения L_0(Д_R, Д_S) И O(Д_R, Д_S) связаны между собой таким образом, что при увеличении O(Д_R, Д_S) увеличивается (в статистическом смысле) и L_0(Д_R, Д_S).
Этот вывод был получен на основе сравнения гистограмм частот значений L0(Д_r, Д_s) при условии, что значение O(Д_r, Д_s) фиксировано.)
Может показаться, что значение связи L0(Дr, Д_s) увеличивается при увеличении O(Д_r, Д_s) непосредственно за счет общих имен в Д_r и Д_s (механизмы, приводящие к такому увеличению даже в правильных списках действительно существуют, но они очень слабы). Однако это не так. Чтобы показать это, введем еще две меры связи определяющих окрестностей Д_r и Д_s в хронологическом списке Х.
Пусть дана пара определяющих окрестностей Д_r и Д_s в списке Х. Определим соответствующие разреженные определяющие окрестности следующим образом:
Д'_r = множество различных имен из Д_r;
Д'_s = множество различных имен из Д_s;
Д»_r, s = множество имен из Д'_r, не совпадающих ни с какими именами из Д_s;
Таким образом, окрестности Д_r, Д'_s и Д»_r, s разрежены таким образом, что в них не осталось различных имен. Кроме того, окрестность Д_r, s не содержит имен, общих с Д_s или с Д'_s.