Революция в физике, стр. 43
Новая механика ставит в соответствие каждой механической величине некий оператор, который можно построить во всех случаях. Все операторы, о которых идет речь, относятся к классу линейных эрмитовских операторов. Математическая теория собственных значений позволяет поставить в соответствие этим операторам собственные значения и собственные функции. Поскольку эти операторы эрмитовские, собственные значения их будут действительными числами, образующими непрерывную, дискретную или смешанную последовательность, которая называется спектром этого оператора.
Собственные функции образуют, по крайней мере в общем случае, полный набор ортогональных функций, т е. какой бы ни была любая непрерывная функция, ее можно разложить в ряд по этим собственным функциям. С этими свойствами собственных функций и собственных значений мы уже встречались, когда говорили о собственных значениях и собственных функциях оператора Гамильтона в шредингеровском методе квантования. В этом методе предполагалось, что лишь некоторые, значения энергии квантованной системы являются собственными значениями оператора Гамильтона, который соответствует ее энергии. Обобщая эту идею, общая вероятностная теория волновой механики выдвигает следующий первый основной постулат, который можно назвать принципом квантования: точное измерение какой-либо механической величины может дать в качестве значения этой величины лишь одно из собственных значений соответствующего оператора.
В каждом случае этот постулат фиксирует возможные значения механической величины. Очевидно, его нужно дополнить вторым постулатом, говорящим о том, каковы вероятности измерения различных значений некоторых величин для частицы, начальное состояние которой до намерения известно, т е. какова вероятность получить возможные значения этих величин в результате измерения. В волновой механике начальное состояние частицы, известное до измерения, изображается определенной волновой функцией. Это и есть «КСИ»-волна, которая возмущается измерительным прибором. Аналогия с разложением спектра призмой подсказывает, каким должен быть второй постулат. Действительно, «КСИ»-волну можно разложить в ряд по собственным функциям, соответствующим измеряемой физической величине. Совершенно естественно предположить, что квадраты амплитуд компонент этого спектрального разложения служат мерой относительных вероятностей различных допустимых значений. Итак, можно сформулировать второй фундаментальный постулат, обобщенный принцип спектрального разложения: вероятности различных возможных значений некоторой механической величины, характеризующей частицу, волновая «КСИ»-функция которой известна, пропорциональны квадратам модуля амплитуд соответствующих компонент спектрального разложения «КСИ»-функции по собственным функциям рассматриваемой величины.
Совершенно очевидно, что метод спектрального разложения Борна, который применяется к квантованию специальной механической величины – энергии – есть частный случай этого второго принципа.
Гораздо менее очевидно, что уже упоминавшийся принцип интерференции – тоже частный случай этого принципа. Однако рассуждения, которые нельзя здесь приводить, показывают, что, применяя обобщенный принцип спектрального разложения к другой специальной механической величине – координате частицы, – мы получим принцип интерференции, Таким образом, оба принципа, которые мы ввели в одной из предыдущих глав для того, чтобы приступить к физической интерпретации волновой механики, оказываются частными случаями второго фундаментального постулата общей теории.
Два этих постулата, введенные в настоящем разделе, представляют, следовательно, достаточную основу для полной и ясной вероятностной интерпретации новой механики. Возникают, очевидно, еще мелкие дополнительные вопросы: чтобы получить значения вероятностей в абсолютной мере, необходимо нормировать собственные функции и «КСИ»-функцию; чтобы учесть вырожденные случаи, когда имеются многократные собственные значения, необходимо расширить формулировку второго принципа и т д. Однако это детали. Основы же теории сформулированы в логически удовлетворительной форме.
А теперь мы хотим предупредить возражение, которое может возникнуть у многих читателей при чтении этого раздела: не оказывается ли эта вероятностная интерпретация новой механики, хотя и очень красивая и очень ясная, несколько произвольной. Зачем нужны понятия, столь сложные и столь противоречащие привычным представлениям классической механики? Оказывается, что вероятностная интерпретация это единственная возможная на сегодняшний день. Это означает, что сегодня она одна позволяет объяснить в рамках волновой механики все квантовые явления, которые наблюдаются экспериментально. Ни одна из попыток, сделанных в любых других направлениях, не привела к успеху. Автору данной книги это известно лучше, чем кому-либо другому, ибо он сам предпринимал попытки такого рода, которые ему в конце концов пришлось оставить из-за возникших непреодолимых трудностей.
Итак, можно сказать, что введенные выше фундаментальные постулаты оправданы тем, что на их основе можно построить последовательную теорию, согласующуюся со всеми экспериментальными фактами, и невозможно построить никакой другой теории, обладающей такими же свойствами. Таково положение со всеми физическими теориями, ибо в основе любой физической теории лежат произвольные постулаты, и успех их в том именно и заключается, что их применение правильно описывает наблюдаемые явления.
Ниже мы строго установим глубокое различие между вероятностной интерпретацией новой механики и классическими теориями. Здесь же ограничимся указанием, что изученные в настоящем разделе принципы в более абстрактной и даже более общей форме под именем теории преобразований легли в основу работ Дирака и Иордана.
2. Соотношение неопределенностей
Физическая интерпретация новой механики ведет к очень интересным и важным следствиям, на которые впервые обратил внимание Гейзенберг, Математически они выражаются неравенствами, известными сегодня под названием соотношений неопределенности. Гейзенберг вывел эти неравенства из не коммутативности величин в своей новой квантовой механике. Чтобы пояснить их смысл, будем исходить из представления, которое дает нам волновая механика. Покажем, что эти соотношения – неизбежное следствие описанной физической интерпретации волновой механики, если предположить, что состояние частицы всегда изображается «КСИ»-волной.
Прежде всего рассмотрим плоскую монохроматическую волну, описывающую свободную частицу. Мы знаем, что этой волне соответствует вполне определенное состояние движения, в данном случае определенное значение вектора импульса. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что рассматриваемое состояние есть собственное состояние оператора импульса, или чистое состояние движения с определенные импульсом и, значит, также энергией. Но плоская монохроматическая волна всюду имеет постоянную амплитуду. Поэтому из принципа интерференции следует, что положение частицы совершенно неопределенно, т е. найти частицу в любой точке пространства можно с одинаковой вероятностью. Итак, мы утверждаем, что полная определенность состояния движения частицы означает согласно принципам новой механики совершенную неопределенность ее положения в пространстве. Конечно, случай, когда со свободной частицей связана плоская и монохроматическая «КСИ»-волна, совершенно особый. В общем случае «КСИ»-волны будут образовывать волновой пакет – суперпозицию некоторого числа плоских монохроматических волн. Этот волновой пакет можно локализовать в ограниченной области пространства. Таким образом, положение частицы будет определено лучше, она обязательно будет находиться в области, занятой волновым пакетом, единственной области, где амплитуда отлична от нуля.
При этом мы столкнемся с интересным свойством математического представления волнового пакета в виде интеграла Фурье. Оно заключается в том, что чем меньше размеры волнового пакета, тем шире спектральный интервал, который занимают компоненты разложения Фурье. Кратко этот вывод можно сформулировать так: чем меньше размеры волнового пакета, тем дальше он от монохроматичности. Таким образом, если обратиться к принципам интерференции и спектрального разложения, становится очевидным, что состояние движения частицы тем более неопределенно, чем лучше определено ее положение в пространстве. Сколько мы приобретаем в одном, столько теряем в другом. Наконец, обратимся к другому предельному случаю, противоположному плоской монохроматической волне. Для этого представим себе волновой пакет «КСИ»-функции бесконечно малого размера. Положение частицы при этом известно точно: мы имеем здесь дело с чистым состоянием с определенной координатой. Но в этом предельном случае волновой пакет можно представить только интегралом Фурье по всевозможным плоским монохроматическим волнам, и, исходя из наших фундаментальных принципов, мы должны сказать, что состояние движения совершенно неопределенно.