Вечность. В поисках окончательной теории времени, стр. 48
Рис. 8.1. Контейнер, полный молекул газа, посередине которого установлена перегородка с отверстием. Каждую секунду у каждой молекулы есть крошечный шанс пролететь сквозь отверстие на другую сторону.
Этот пример весьма специфичен и тем удобен; мы можем в деталях изучить каждый вариант развития событий и описать, что при этом происходит. [127] Про каждую молекулу в левой половине контейнера мы можем сказать, что каждую секунду с вероятностью 99,5 % она останется в своей половине, а с вероятностью 0,5 % переместится в противоположную; то же самое верно для правой половины контейнера. Это правило абсолютно инвариантно относительно обращения времени: если снять на пленку движение произвольной частицы, подчиняющейся этому правилу, то при просмотре фильма невозможно будет сказать, вперед или назад по времени воспроизводится запись. На уровне отдельных частиц прошлое и будущее совершенно идентичны.
На рис. 8.2 мы изобразили один из возможных вариантов; как всегда, значение времени увеличивается снизу вверх. В контейнере 2000 «молекул воздуха», и в момент времени t = 1 в левой части находится 1600 молекул, а в правой — только 400. (Пока что вы не должны спрашивать, почему первоначальная конфигурация выбрана именно такой, хотя позже, когда мы заменим «контейнер» на «Вселенную», мы начнем задавать подобные вопросы.) Итак, мы наблюдаем за молекулами, летающими внутри контейнера и отскакивающими от стенок, и то, что происходит далее, нас совсем не удивляет. Каждую секунду любая молекула с небольшой вероятностью может перелететь на другую половину, но поскольку в самом начале в одной части контейнера существенно больше молекул, чем в другой, в целом наблюдается тенденция к выравниванию. (В точности как с температурами в формулировке второго начала термодинамики, предложенной Клаузиусом.) Пока в левой части контейнера молекул больше, общее количество молекул, пролетающих сквозь отверстие слева направо, превышает количество молекул, перемещающихся в обратном направлении. Через 50 секунд мы увидим, что количества молекул в обеих частях начинают выравниваться, а через 200 секунд они станут практически равными.
Очевидно, что этот контейнер — еще одна иллюстрация существования стрелы времени. Даже если бы мы не указали моменты времени на различных конфигурациях, показанных на рисунке, большинство людей без труда угадали бы, что было в начале, а чем все закончилось. Нас не удивляет тот факт, что концентрация молекул воздуха выравнивается, но мы бы были поражены, если бы все (или почти все) молекулы внезапно собрались в одной половине контейнера. «Прошлое» — это с той стороны стрелы времени, где объекты находятся в более разделенном состоянии, тогда как «будущее» — это там, где они перемешались, а их концентрация выровнялась. То же самое происходит, когда вы наливаете в чашку кофе ложку молока и две жидкости смешиваются.
Рис. 8.2. Поведение 2000 молекул газа в контейнере с перегородкой. В самом начале 1600 молекул находятся в левой части контейнера и 400 молекул — в правой. Через 50 секунд в левой половине остается около 1400 молекул, а в правой их число уже составляет 600. По истечении 200 секунд молекулы равномерно распределены между двумя половинами контейнера.
Конечно же, это всего лишь статистическая картина, а не абсолютная действительность. Я хочу сказать, что вполне вероятна ситуация, когда вначале слева и справа в контейнере будет одинаковое число молекул, а потом по удивительному стечению обстоятельств большинство частиц соберется в какой-то одной половине, образовав очень неравномерное распределение. Как мы увидим далее, вероятность такого исхода невелика, и чем больше частиц участвуют в процессе, тем она ниже; тем не менее нельзя сбрасывать ее со счетов. Однако пока что мы можем смело игнорировать такие редкие события и сконцентрироваться на наиболее вероятном варианте эволюции системы.
Энтропия по Больцману
Нам хотелось бы сделать нечто большее, чем просто заявить: «Вполне очевидно, что молекулы, скорее всего, будут перемещаться до тех пор, пока равномерно не распределятся по объему». Мы хотели бы уметь обосновывать это ожидание и заменять выражения типа «скорее всего» и «равномерно распределятся» строгими количественными характеристиками. Этим занимается раздел науки под названием «статистическая механика». Повторяя бессмертные слова Питера Венкмана: «С дороги, человек, я ученый!»
Первой крупной догадкой Больцмана было осознание того факта, что у молекул есть гораздо больше способов равномерно (более или менее) распределиться по объему контейнера, чем всем вместе скопиться у одной из его стенок. Представьте себе, что мы подсчитали имеющиеся молекулы и навесили на них номера от 1 до 2000. Нам интересно, сколько существует способов организовать молекулы так, чтобы в левой и правой половинах контейнера оказалось ровно требуемое число молекул. Например, сколько есть способов поместить 2000 молекул в левую часть и 0 в правую? Ровно один. Мы следим только за тем, в какой половине контейнера находится каждая молекула, и нас не интересуют ее точное положение и импульс, поэтому мы всего лишь берем и помещаем каждую молекулу в левую часть контейнера.
Теперь попробуем ответить на вопрос: сколькими способами можно поделить молекулы так, чтобы в левой части оказалось 1999 молекул, а в правой — ровно одна? Ответ: двумя тысячами способов, по одному на каждую молекулу, которой посчастливилось попасть в правую половину. А если мы хотим, чтобы в правой части всегда находилась пара молекул? Это можно сделать 1 999 000 способов. И в конце концов, если мы обнаглеем поместить в правую половину три молекулы, оставляя в левой 1997, то обнаружим, что вариантов такого размещения молекул целых 1 331 334 000. [128]
Очевидно, что эти числа увеличиваются очень быстро: 2000 намного больше 1, 1 999 000 намного больше 2000, а 1 331 334 000 еще больше. По мере того как мы в ходе своего мысленного эксперимента перемещаем все больше и больше молекул в правую половину, опустошая левую, они продолжают возрастать, а затем в определенный момент начинают уменьшаться. В конце концов, задавшись вопросом, много ли существует способов поместить все 2000 молекул в правую часть контейнера, оставив в левой ровно ноль, мы вновь вернемся к единственному уникальному варианту такой конфигурации.
Ситуация, соответствующая наибольшему числу всевозможных конфигураций, — очевидно, та, когда в каждой половине контейнера находится ровно по 1000 молекул. Создать такую конфигурацию можно в общем, очень большим количеством способов. Мы не будем приводить точное число; скажем только, что оно примерно равно 2 ∙ 10600 — двойка, за которой следует шестьсот нулей. И это всего лишь для двух тысяч частиц. Попробуйте вообразить приблизительное число возможных конфигураций атомов в комнате с обычным объемом воздуха или даже в стакане воды (предмет, который можно удержать в руке, состоит где-то из 6 ∙ 1023 молекул — это число Авогадро). Возраст Вселенной — всего лишь около 4 ∙ 1017 секунд, так что можете представить себе, как быстро вам придется двигать молекулы туда и сюда, для того чтобы изучить все возможные допустимые конфигурации.
Все это наводит на определенные мысли. Существует относительно немного способов собрать все молекулы в одной половине контейнера, но огромное число вариантов более или менее равномерного распределения их по доступному пространству. К тому же разумно ожидать, что очень неравномерное распределение с легкостью будет переходить в относительно равномерное, но не наоборот. Эти заявления похожи, но не эквивалентны. Следующим шагом Больцмана было предположение о том, что если у нас нет какой-то особой информации о состоянии системы, то следует предполагать, что она будет переходить от «специальных» конфигураций к «общим», то есть от ситуаций, соответствующих относительно небольшому числу вариантов расположения частиц, к ситуациям, соответствующим множеству способов их расположения.