Теория струн и скрытые измерения вселенной, стр. 58
Как говорит Майкл Дуглас, физик из Университета Стоуни-Брук, «представьте, что у вас есть два конструктора, детали которых имеют различную форму. Однако набор моделей, которые вы можете из них собрать, один и тот же»[122]. Это полностью аналогично соответствию между А-бранами и В-бранами, заявленному в теории гомологической зеркальной симметрии.
А-браны представляют собой объекты, описываемые в рамках так называемой симплектической геометрии, тогда как В-браны являются предметом исследования алгебраической геометрии. Мы уже слегка касались алгебраической геометрии, говоря о том, что она позволяет описывать геометрические кривые в алгебраических терминах и решать геометрические задачи при помощи алгебраических уравнений. Симплектическая геометрия содержит ключевое для многообразий Калаби-Яу (и не только для них) понятие кэлеровой геометрии. В то время как пространства в дифференциальной геометрии обычно описываются симметричным относительно диагонали метрическим тензором, в симплектической геометрии метрика симметричной не является — при переходе через диагональ знаки изменяются.
«Эти две области геометрии рассматривались как совершенно отдельные, поэтому стало большой неожиданностью, когда обнаружилось, что алгебраическая геометрия одного пространства эквивалентна симплектической геометрии другого, — говорит Эспинволл. — Соединение двух различных областей, установление того, что они в определенном смысле связаны через понятие зеркальной симметрии, можно считать одним из крупнейших событий в математике, потому что теперь методы, разработанные для одной области, можно применять и в другой. Обычно это в буквальном смысле устраняет все препятствия на пути, в конце которого вас ждет медаль Филдса».[123]
В настоящее время теория гомологической зеркальной симметрии установила тесную связь с другими областями математики, в том числе и с гипотезой SYZ. На сегодняшний день, однако, не существует «строгой математической эквивалентности между двумя теориями, [но] они поддерживают друг друга, — утверждает Гросс. — И, если они обе верны, мы рано или поздно обнаружим их эквивалентность на определенном уровне»[124].
Эта история еще не закончена. Мы до сих пор пытаемся выяснить, что же представляет собой зеркальная симметрия, с помощью наших исследований гипотезы SYZ, гомологической зеркальной симметрии и других подходов. Введение зеркальной симметрии привело к созданию новых направлений в математике, уже не имеющих ничего общего с самой зеркальной симметрией, и никто точно не знает, как далеко заведут нас эти исследования и где они в конечном итоге закончатся. Однако мы точно знаем, с чего они начались, — с открытия необычного свойства компактных кэлеровых многообразий, носящих название многообразий Калаби-Яу, — пространств, на которых более двух десятилетий назад был практически поставлен крест.
Восьмая глава
Петли в пространстве-времени
Зигмунд Фрейд считал, что, для того чтобы понять природу человеческого разума, необходимо изучать людей, чье поведение не укладывается в общепринятые нормы, то есть является аномальным, — людей, одержимых странными, навязчивыми идеями: например, в число его знаменитых пациентов входили «человек-крыса» (у которого были сумасшедшие фантазии, в которых дорогих ему людей привязывают ягодицами к горшку с крысами) и «человек-волк» (который часто видел сон, как его заживо съедают белые волки, сидящие на дереве перед окном его спальни). Фрейд считал, что больше всего мы узнаем о типичном поведении, изучая самые необычные, патологические случаи. С помощью таких исследований, по его словам, мы могли бы в конечном итоге прийти к пониманию как норм, так и отклонений от них.
Мы часто применяем аналогичный подход в математике и физике. «Мы ищем области пространства, в которых не работают классические описания, поскольку именно в этих областях, мы открываем что-то новое», — поясняет гарвардский астрофизик Ави Лёб. Рассуждаем ли мы об абстрактном пространстве в геометрии или о более материальном пространстве, которое мы называем Вселенной, области «где что-то ужасное происходит с пространством, где вещи разрушаются», как говорит Лёб, и являются теми областями, которые мы называем сингулярностями.[125]
Вопреки тому, что вы могли бы подумать о сингулярностях, они широко распространены в природе. Они вокруг нас: капля воды, отрывающаяся и падающая из неисправного водопроводного крана, — самый распространенный пример (часто наблюдающийся в моем доме), место (хорошо известное серфингистам), где океанские волны разрываются и дробятся, сгибы в газете (которые показывают, является статья важной или просто «водой») или места скруток на воздушном шарике, свернутом в виде французского пуделя. «Без сингулярностей вы не можете говорить о формах», — замечает геометр Хэйсукэ Хиронака, заслуженный профессор Гарвардского университета. Он приводит в качестве примера собственную подпись: «Если здесь нет пересекающихся линий, острых углов, то это просто каракули. Сингулярность представляла бы собой пересекающиеся или внезапно меняющие направление линии. В мире можно встретить много подобных вещей, и они делают мир интереснее».[126]
В физике и космологии два вида сингулярностей стоят особняком среди прочих бесчисленных возможностей. Один вид — это сингулярность во времени, известная как Большой взрыв. Я как геометр не знаю, как представить себе Большой взрыв, потому что никто, включая физиков, в действительности не знает, что это такое. Даже Алан Гут, создатель концепции космической инфляции, понятия, которое, по его словам, «помещает взрыв в Большой взрыв», допускает, что термин Большой взрыв всегда страдал от неопределенности, вероятно, потому, что «мы до сих пор не знаем (и, может быть, никогда не узнаем), что в действительности произошло».[127] Я полагаю, что в этом случае скромность нам не помешает.
И хотя мы довольно невежественны, когда дело доходит до применения геометрии к точному моменту рождения Вселенной, мы, геометры, достигли некоторых успехов в борьбе с черными дырами. Черная дыра — это, по существу, участок пространства, сжатый в точку под действием силы тяжести. Вся эта масса, упакованная в крошечном пространстве, образует сверхплотный объект, вторая космическая скорость (мера его гравитационного притяжения) возле которого превышает скорость света, что приводит к захвату любой материи, включая свет.
Несмотря на то что существование черных дыр вытекает из общей теории относительности Эйнштейна, черные дыры все еще остаются странными объектами, и сам Эйнштейн отрицал их существование до 1930 года, то есть спустя 15 лет после того, как немецкий физик Карл Шварцшильд представил их в виде решений знаменитых уравнений Эйнштейна. Шварцшильд не верил в физическую реальность черных дыр, но сегодня существование таких объектов является общепризнанным фактом. «В настоящее время черные дыры открывают с удивительным постоянством каждый раз, когда кому-нибудь из НАСА понадобится очередной грант», — заявляет Эндрю Строминджер.[128]
Рис. 8.1. Считается, что на расстоянии в двенадцать миллионов световых лет в центре спиральной галактики М81 находится супермассивная черная дыра, которая примерно в семьдесят миллионов раз тяжелее нашего Солнца (фото любезно предоставлено НАСА)
И хотя астрономы обнаружили большое число кандидатов в черные дыры и накопили массу наблюдательных данных, подтверждающих этот тезис, черные дыры все еще окутаны тайной.
Общая теория относительности дает совершенное и адекватное описание больших черных дыр, но картина рушится, когда мы двигаемся к центру вихря и рассматриваем исчезающе малую сингулярную точку бесконечной кривизны. Общая теория относительности не может бороться с крошечными черными дырами, размер которых меньше пылинки, — здесь вступает в игру квантовая механика. Неадекватность общей теории относительности становится явно очевидной в случае таких миниатюрных черных дыр, когда массы являются огромными, расстояния — крошечными, а кривизна пространства-времени не поддается изображению. В этом случае выручает теория струн и пространства Калаби-Яу, которые приветствуются физиками с момента создания теории, в частности потому, что они могут разрешить конфликт между приверженцами общей теории относительности и сторонниками квантовой механики.