Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков, стр. 39
Мате сожалеет, что самой машины так и не видал. Ну да ничего не поделаешь! Ведь во время их пребывания в Руане она еще не была готова. К тому же сейчас, в двадцатом столетии, изобретение это представляет интерес чисто исторический…
— До известной степени, мсье, — возражает бес. — Творец кибернетики Норберт Винер, например, справедливо отмечает, что машина Паскаля имеет самое непосредственное отношение к настольным арифмометрам современного образца. Ведь в основу ее устройства положен часовой механизм, а часовые механизмы используются в ручных арифмометрах и поныне.
Асмодей запихивает в рот громадный кусок яблочного пирога и, мигом разделавшись с ним, продолжает:
— Между прочим, то, что Паскаль прибег к зубчатой передаче, едва ли не самое главное его достижение. Тем самым поступательное движение, которое используется, скажем, в русских и китайских счетах, он заменил вращательным. Притом так, что перенос десятков в следующий разряд происходит автоматически. Когда в числовом разряде накапливается десять единиц, они с помощью специального рычажка заменяются нулем, а к цифре следующего разряда прибавляется единица. И принцип этот, кстати сказать, сохраняется не только в арифмометрах, но и во многих измерительных приборах. В счетчиках такси, в электросчетчиках..
— Представляю себе, как обрадовались бухгалтеры семнадцатого века, когда счетная машина была наконец завершена! — фантазирует Фило.
— Кха, кха… Не думаю, чтобы очень, мсье. К сожалению, она была слишком дорога для них. Да и в работе сложновата. К тому же частенько портилась. Тогда ведь не умели еще устранять трение. Отсюда вечные заедания, зацепки…
— Хоть бы и так, — хорохорится Фило, — а все-таки четыре действия арифметики с плеч долой!
— Не четыре, а только два, мсье. Сложение и вычитание. Арифмометр Паскаля — прародитель так называемых сумматорных машин. Зато уже спустя каких-нибудь два-три десятилетия появилась сумматорно-множительная машина Лейбница.
— Последователь, стало быть, не заставил себя ждать. Не последователь, а последователи, — снова поправляет бес. — Даже в семнадцатом веке их уже было несколько. Само собой, охотники погреть руки на чужом таланте — не в счет. Паскаля оградила от них королевская привилегия, а еще — их собственное невежество: изготовление мало-мальски сносной подделки требовало сноровки и знаний, которых у них не было. Ну да что о них толковать! Мы ведь говорим о связи машины Паскаля с современностью.
— Как? Разве разговор не закончен? — удивляется Мате.
— Нет, мсье, мы как раз подошли к самому главному. А главное для мае с вами — отнюдь не устройство машины, а идея. Да, да, идея, которая подтолкнула мсье Паскаля к ее созданию. Он, если помните, руководствовался утверждением Декарта, полагавшего, что мозгу человеческому свойствен некий автоматизм и что многие умственные процессы, по сути дела, ничем не отличаются от механических. Иными словами, мозг столько же автомат, сколько живой орган. Долгие годы работы заставили Паскаля не только утвердиться в этой мысли, но и углубить ее. Он понял, что действия арифметической машины даже ближе к мыслительному процессу, нежели то, на что способен живой мозг…
— Что?! — взвивается Мате. — У Паскаля есть такая запись? Но ведь это же одно из тех положений, на которых основана кибернетика!
— В том-то и дело, мсье! И значит, у нас с вами есть все основания считать Паскаля ее отдаленным предшественником, что совершенно необходимо отметить еще одной чашкой чая.
Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней. опять изменился! Теперь там изображены они сами — Фило, Мате и Асмодей в своем маркизовом обличье, восседающие на крыше руанской судебной палаты.
Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.
— Итак, — говорит Мате, — напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.
— Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, — капризно замечает Фило.
— Совершенно верно. Какого рода доказательство вы желаете получить? Общее или частное — на числовом примере?
— Достаточно будет и частного!
— Понятно, — ядовито кивает Мате. — Тогда к общему виду потрудитесь привести его самостоятельно. А теперь вычертим произвольный треугольник и выберем систему координат с началом в одной из вершин треугольника. Скажем, в точке О. Ось иксов направим вдоль стороны ОВ. — Говоря это, Мате набрасывает чертеж в своем неизменном блокноте. — Как видите, координаты вершины О — нуль, нуль; вершины А — четыре, пять; вершины В — девять, нуль. Теперь нетрудно вычислить и размеры сторон треугольника.
— По известной формуле, — сейчас же соображает Асмодей. — Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря
d2 = (X1 ? X2)2 + (Y1 ? Y2)2
— Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:
ОА2 = 42 + 52 = 41, а ОА = v41; OB2 = 81, а ОВ = 9 и АВ2 = (9 ? 4)2 + 52 = 50, а АВ = v50 = 5v2.
Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами п, т и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = Oт. Во втором — An = Вп. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на v3, то
Am = mO = 2/3 AOv3/2 = AOv3/3,
An = Bn = ABv3/3 и
Bp = Op = OBv3/3.
Иначе:
(Am)2 = (mO)2 = AO2/3 = 41/3;
(An)2 = (Bn)2 = AB2/3 = 50/3;
(Bp)2 = (Op)2 = OB2/3 = 27.
Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:
— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки т: х1,у1 ; точки п: х2, y2; точки р: x3, у3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что
(Am)2 = (Om)2 = (x1 ? 4)2 + (y1 ? 5)2 = x12 + y12 = 41/3.
Решая систему двух уравнений:
(x1 ? 4)2 + (y1 ? 5)2 = x12 + y12 и
x12 + y12 = 41/3,
найдем, что
x1 = 2 ± 5v3/6; y1 = 2,5 ± 2/3v3.
— А как это у вас получилось? — неожиданно для себя самого интересуется Фило.
— По-моему, это понятно всякому школьнику, — сердито отвечает Мате.
— Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?