Путешествие к далеким мирам, стр. 91
Во втором разделе приводятся основные формулы, определяющие законы движения тела в поле тяготения другого тела, то есть формулы небесной механики, преобразованные для решения задач астронавтики. Эти формулы позволяют решать задачи, связанные с полетом межпланетного корабля — находить траекторию его движения, величину скорости в различные моменты времени, продолжительность полета. Такие сведения нужны, прежде всего, штурману межпланетного корабля.
Наконец, в третьем разделе сообщаются основные сведения из области астрономии, нужные астронавту, прежде всего, для характеристики возможных целей его будущих полетов — планет солнечной системы и их спутников, а также некоторых звезд.
В наиболее важных случаях формулы даются с выводами, если они не требуют использования высшей математики. Это должно помочь лучшему усвоению физической закономерности, описываемой данной формулой.
Приводятся также примеры, иллюстрирующие применение формул.
Раздел первый
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ И РЕАКТИВНОЙ ТЕХНИКИ
I. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО — ОСНОВНОЙ ЗАКОН РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ (РАКЕТОДИНАМИКИ)
Формула служит для определения скорости ракеты.
В этой формуле
V — конечная скорость ракеты, которую она приобретает после выработки всего имеющегося на ней топлива. При этом полет ракеты считается происходящим в пространстве, в котором нет среды, оказывающей сопротивление полету, то есть атмосферы, и не действуют силы тяготения. Такое условное пространство Циолковский называл свободным. Эти условия существуют в мировом пространстве на достаточном удалении от звезд;
С — скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя. Величины С и V должны исчисляться в одинаковых единицах; обычно такой единицей является м/сек или км/сек;
M нач. — начальная, или взлетная, масса ракеты, то есть ее масса до запуска двигателя (с полным запасом топлива);
M кон. — конечная масса ракеты, то есть ее масса после остановки двигателя из-за выработки всего топлива, находившегося на ракете. Значит,
(М топл. — масса топлива, запасенного на ракете перед стартом).
В литературе можно встретить и другие выражения для этой формулы, вытекающие из приведенной выше:
(m — отношение масс,
часто это отношение называют «числом Циолковского»);
(In — натуральный логарифм);
(е — 2,71828… основание натуральных логарифмов).
Иногда вводится понятие относительного запаса топлива ?T, показывающего, какая часть взлетного веса ракеты приходится на долю топлива. Очевидно,
1. Скорость истечения газов из двигателя равна 2,5 км/сек, необходимая конечная скорость ракеты 15 км/сек. Каковы должны быть отношение начальной и конечной масс ракеты и относительный запас топлива на ракете?
Воспользуемся формулой V = 2,3·C·lgm.
15 = 2,3·2,5·lgm; lgm = 2,6; m?400.
то есть вес топлива составляет 99,75 процента взлетного веса ракеты.
Такую ракету построить нельзя.
2. Отношение масс ракеты m= 10. Какова должна быть скорость истечения газов, чтобы ракета достигла скорости 8 км/сек?
Воспользуемся формулой V = 2,3·C·lgm.
Такую скорость истечения можно получить с помощью высококалорийных топлив.
II. ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ СОСТАВНОЙ (МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ) РАКЕТЫ
Если составная ракета состоит из n ступеней, а скорость истечения газов из двигателей всех ступеней одинакова и равна С, то конечная скорость последней (n-й) ступени
где m1·m2…mn — отношения масс отдельных ступеней ракеты (1-й, 2-й… n-й), представляющие собой отношение начальной массы каждой ступени (включающей массу всех последующих ступеней в качестве полезной нагрузки) к этой же массе за вычетом массы топлива, запасенного на данной ступени.
Допустим, что ракета состоит из двух ступеней со следующими весовыми данными:
1-я ступень: вес ракеты — 2000 кг, вес топлива — 8000 кг;
2-я ступень: вес ракеты — 400 кг, вес топлива — 1600 кг.
Скорость истечения газов из двигателей обеих ступеней одинакова и равна С = 2500 м/сек.
Какова будет конечная скорость второй ступени ракеты?
По вышеприведенной формуле
Если бы ракета была не составной и имела такое же количество топлива, то ее конечная скорость была бы
Но тогда V3 = 2,3·C·lgm1 + 2,3·C·lgm2 + 2,3·C·lgm3 = 2,3·C·lg(m1·m2·m3).
III. ФОРМУЛА ТЯГИ РЕАКТИВНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Эта формула позволяет определить величину тяги реактивного двигателя любого типа. Формула получается на основе закона механики (следствие второго закона Ньютона), по которому изменение количества движения тела равно действующей на него силе (в единицу времени).
Для ракетного двигателя
где R — сила тяги в кг;
М — масса газов, вытекших из двигателя за секунду (масса равна секундному весовому количеству газов, деленному на ускорение земного тяготения, то есть где Gсек — в кг/сек
С — скорость истечения газов в м/сек.
Для воздушно-реактивных двигателей формула для тяги иная, так как изменение скорости воздуха, проходящего через двигатель, равно
где V — скорость полета; добавкой топлива к воздуху обычно пренебрегают, так как она относительно невелика. Поэтому в случае воздушно-реактивного двигателя
1. В пороховой ракете сгорает 1 кг пороха в секунду. Газы вытекают со скоростью 1200 м/сек. Какую тягу развивает двигатель?
2. На реактивном истребителе установлен турбореактивный двигатель, через который в полете со скоростью 1440 км/час протекает 120 кг воздуха в секунду. С какой скоростью вытекают при этом газы из двигателя, если его тяга равна 6 т?