Занимательная математика, стр. 8

Иначе говоря, день рождения второго из опрошенных тобой членов клуба с вероятностью 364/365 не совпадает с днем рождения первого из опрошенных. Что же касается третьего из опрошенных, то его день рождения может совпадать с днями рождения любого из первых двух опрошенных, поэтому вероятность того, что его день рождения не совпадает с их днями рождения, составляет 363/365.

Это означает, что после того, как ты опросил трех членов круга об их днях рождения, вероятность совпадения дней рождения у двух из трех опрошенных стала равна

А когда ты опросишь всех 30 членов клуба, вероятность совпадения дней рождения у двух из них окажется равной

Оценить это число можно различными способами, но ответ, разумеется, будет одинаков. Он означает, что вероятность совпадения двух дней рождения составляет примерно 0.7. т. е. ты можешь заключить пари на то, что у кого-то из 30 членов клуба дни рождения совпадают с шансами на выигрыш, более высокими, чем 2 к 1.

— Поразительно! — не мог не признать Сэм-старший. — А сколько людей следовало бы опросить, чтобы я мог, заключить пари 1 к 1 на то, что у двух из них дни рождения совпадают?

— Примерно 24 человека. Интересно, что после 24 шансы на выигрыш такого пари быстро возрастают.

Теннисный турнир

— Думаю, что пока задач на вероятности хватит, — сказал Сэм- старший. — Мне и с тем, что ты мне сообщил, придется разбираться несколько недель. Насколько я знаю, ты собираешься этим летом хорошенько подзаняться теннисом и забудешь про всякую математику.

— Я действительно хочу поиграть в теннис, — подтвердил Сэм- младший, — но, как ни странно, именно в связи с теннисом я столкнулся с одной задачей, которую никак не могу решить, несмотря на всю мою математическую подготовку.

— А какое отношение имеет математика к теннису? — удивился Сэм-старший. — Поясни!

— Речь идет не о применении математики в теннисе, хотя и такое в принципе возможно, — ответил Сэм-младший. — Но в данном случае речь идет о другом. Я провожу турнир юных теннисистов и никак не могу сосчитать, сколько упаковок теннисных мячей мне понадобится для того, чтобы полностью обеспечить участников. При проведении турнира мы берем всех участников и разбиваем их на пары в играх первого тура. Затем мы берем победителей, разбиваем их на пары для второго тура и продолжаем в том же духе до тех пор, пока не останется один-единственный победитель.

Проблема состоит в том, что для каждой встречи между двумя игроками я должен приготовить упаковку новеньких теннисных мячей. Если в каком-нибудь туре соревнования выходит нечетное число игроков, то один из них при жеребьевке вытягивает билетик с надписью «Всего хорошего!» и не участвует в очередном туре, но если возможно, его допускают к участию в следующем туре.

Мои расчеты затрудняет возможность появления «нечетных» игроков в конце то одного, то другого тура — тех, кто вытягивает билетик с надписью «Всего хорошего!» Я никак не могу сосчитать полное количество встреч, которые будут сыграны, если число участников турнира считать известным и принять во внимание тех, кто, вытащив билетик с надписью «Всего хорошего!», может пропустить один тур и оказаться в следующем.

Сэм-старший рассмеялся;

— На этот раз я могу помочь твоей беде. Позабудь о том, что в конце любого тура число победителей может оказаться нечетным. Вместо того чтобы подсчитывать число встреч, которые могут состояться тур за туром с учетом того, что отдельные игроки могут, минуя очередной тур, переходить в следующий, гораздо проще посмотреть на весь турнир в целом. Если отвлечься от деталей, то можно с уверенностью сказать, что при каждой встрече один участник вылетает. Следовательно, если исходное число участников турнира равно п, а после финальной встречи должен остаться один-единственный победитель турнира, то п — 1 участников должны выбыть. Для этого необходимо провести п — 1 встреч. Следовательно, тебе необходимо позаботиться o n — 1 упаковках теннисных мячей.

Односторонняя игра

Как-то раз Сэм-старший и его сын, начинающий вкушать плоды математического просвещения, поспорив по какому-то малозначительному поводу, заключили пари, и Сэм-младший предложил отцу, чтобы проигравший не платил выигравшему обычную ставку в несколько долларов, а сыграл с ним в игру, которая бы и определила, сколько нужно уплатить.

— Игра очень простая, — убеждал отца Сэм-младший, — мы просто бросим монету. Предположим, что ты проиграл пари. Мы бросаем монету, и если ты угадываешь исход бросания, то на этом все и кончается, и ты мне ничего не должен. С другой стороны, если исход бросания предсказан тобой неверно, то ты платишь мне 2 доллара, и мы бросаем монету второй раз. Если ты правильно угадываешь исход второго бросания, то игра на этом заканчивается и ты мне ничего больше не платишь. Таким образом, в этом случае я получаю от тебя всего 2 доллара. Если же исход второго бросания угадан тобой неверно, то ты платишь мне еще 4 доллара и т. д. Каждый раз, когда ты не угадываешь исход бросания, тебе придется уплатить мне вдвое больше, чем в предыдущий раз.

Игра продолжается лишь до тех пор, пока ты неверно предсказываешь исход бросания монеты. Как только ты угадываешь исход бросания, игра прекращается, и ты больше мне ничего не платишь. Идет?

— Идет! — согласился Сэм-старший, в котором проснулся азарт игрока. — Даже если я проиграю пари, то у меня останется шанс пятьдесят на пятьдесят остаться при своих, а если я не угадаю исход первого бросания, то затем мне вскоре все равно удастся правильно предсказать исход другого бросания, и я все же выиграю.

На следующий день выяснилось, что Сэм-старший проиграл пари. Пришлось бросать монету, чтобы выяснить, сколько он должен уплатить Сэму-младшему.

— А почему бы нам не оценить математически, сколько ты мне должен, вместо того чтобы по-настоящему бросать монету? Если ты против, я охотно все подсчитаю. Ведь ты же сам хотел, чтобы я изучал математику, так почему бы мне не воспользоваться тем, чему меня научили?

— Валяй, — неохотно согласился Сэм-старший. Разумеется, он предпочел бы попросту, без затей, бросать монету. — Только объясни мне понятно, как ты делаешь все эти математические вычисления, чтобы определить, сколько я тебе должен. Если все будет правильно, то я, конечно, уплачу сколько надо.

— Не бойся, все очень просто, и ты легко поймешь суть дела без всякой математики. При первом бросании я могу с одинаковыми шансами не получить ничего или выиграть 2 доллара. Поэтому я поступлю честно, если попрошу тебя уплатить мне 1 доллар вместо того, чтобы бросать монету.

— Достаточно честно, — подтвердил Сэм-старший.

— Хорошо! А что ты скажешь по поводу второго бросания? Ведь если я выиграю, то получу 4 доллара. Существует 1 шанс против 2, что монету вообще придется бросать второй раз, поскольку это произойдет только в том случае, если ты не угадаешь исход первого бросания. Но если нам все же придется бросать монету во второй раз, то существует 1 шанс против 2, что я выиграю и получу от тебя 4 доллара. Следовательно, только в 1 случае из 4 я получу эти 4 доллара, если мы «по-настоящему» станем бросать монету. Поэтому предлагаю тебе уплатить мне четвертую часть от 4 долларов, т. е. 1 доллар, чтобы мы обошлись без бросания монеты.

— Гм, — забеспокоился Сэм-старший, — за то, что мы не будем бросать монету по-настоящему во второй раз, я должен уплатить тебе 1 доллар. А что ты скажешь о третьем бросании? Оно тоже обойдется мне в 1 доллар?

— Конечно, — подтвердил Сэм-младший. — За третье бросание я мог бы выиграть и 8 долларов, разумеется, если бы до него дошло дело, а это может случиться только в том случае, если я выиграю первые два бросания. Вероятность такого события (двух моих выигрышей) равна 1/4. Кроме того, если мы бросим монету в третий раз, то я могу выиграть только с вероятностью 1/2, поэтому вероятность выиграть 8 долларов равна 1/8. Те же соображения остаются в силе и относительно любого последующего бросания, поэтому я могу попросить у тебя по 1 доллару за каждое из бесконечной серии бросаний. Разумеется, на твоем счете в банке нет такого количества долларов, но я человек не злой и обойдусь с тобой по-хорошему: ты дашь мне всего лишь 10 тысяч долларов, которые я хочу израсходовать на покупку нового спортивного автомобиля.