Строительство и архитектура в Древнем Египте, стр. 52

В папирусе Ринд приводится совершенно ненужное, с нашей точки зрения, число примеров умножения и деления, которое мы, с помощью алгебры, могли бы выразить несколькими пояснительными строчками или одной формулой. Причиной этого является тот факт, что задача, решаемая методом проб и ошибок, создает свои, только ей присущие трудности, причем некоторые из них требуют большой ловкости для разрешения.

Уравнения первой степени решались египтянами простым методом проб и ошибок. Знали они также и уравнения второй степени, в которых имелось одно неизвестное. В Берлинском папирусе приводится задача – разделить 100 квадратных локтей на два квадрата, стороны которых соотносились друг с другом как 1 к ³/₄.

Знали египтяне и возведение во вторую степень, и извлечение квадратных корней. Первый процесс – это простое умножение, второй же заключался для самых простых чисел в длинной серии проб. В Берлинском папирусе приводятся квадратные корни для 6 ¹/₄ и 1¹/₂ ¹/₁₆.

Хотя древнее значение соотношения длины окружности к ее диаметру, или число п, и не встречается в математических папирусах, однако в папирусе Ринд дан пример (№ 50) определения площади круга. Способ заключался в вычислении ¹/₉ диаметра и возведении полученного числа во вторую степень. Сейчас мы выразили бы это формулой A = (⁸/₉ D)². Эта формула дает значение, близкое к реальному. Египтяне получили площадь круга, равную 0,7902 D², тогда как в реальности она составляет 0,7854 D². Эта площадь, вероятно, была определена таким образом: на разделенной на квадраты поверхности был нарисован круг и подсчитано число квадратов, попавших в него.

У нас имеется много свидетельств того, что в поздние времена площадь треугольных полей для взимания налогов определялась как половина произведения самой длинной и самой короткой сторон. У нас почти нет сомнений в том, что в более ранние времена эту площадь египтяне правильно определяли как половину произведения основания треугольника и вертикальной высоты, или эмройет. Более того, они знали, что площадь равнялась половине прямоугольника, построенного на его основании с той же самой вертикальной высотой.

Объем цилиндра вычислялся путем умножения квадрата его диаметра минус его девятая часть (см. выше) на длину, а объем симметричной пирамиды (по крайней мере) равнялся ¹/₃ площади основания, умноженной на высоту. Как объем определялся первоначально, мы не знаем, поскольку для доказательства этого потребуются знания, которыми египтяне не обладали, а практическая демонстрация получения пирамиды из параллелепипеда связана с огромными трудностями. Мистер Баттискомб Ганн в разговоре со мной высказал предположение, что египтяне сначала взвешивали параллелепипед, сделанный из глины или ила, а затем – пирамиду, отрезанную от него. Это простой и удобный метод, который египтяне вполне могли использовать.

Самое удивительное заключается в том, что египтяне умели определять объем усеченной пирамиды. Если H – вертикальная высота, a – сторона квадрата основания, а b – сторона квадрата на вершине, то формула объема будет такова: H/3 (a² + ab + b²) – именно в такой форме она и была известна в Древнем Египте. Усеченную пирамиду можно было превратить в параллелепипед, четыре клина и четыре косых пирамиды, из которых можно было собрать одну симметричную пирамиду. Было показано, что с помощью простого графического процесса формула, найденная путем разделения фигуры, может быть превращена в более удобную, которую и используют в наши дни в простых графических методах.

Итак, мы охарактеризовали основные особенности египетского способа вычислений. Знание действий умножения и деления было вполне достаточно, чтобы решить любую проблему, возникавшую при сооружении храма, пирамиды или стены, и для измерения веса использованного при этом материала. Насколько далеко продвинулись египтяне в познании математики, мы узнаем в ходе дальнейших научных исследований, однако вряд ли писцы обладали более сложными математическими познаниями. Чтобы получить такие знания, египтянам надо было изменить не только свою систему вычислений, но и сам способ своего мышления.

Рис. 142. Карта населенных пунктов Египта и Нижней Нубии, которые упоминаются в книге

Приложения

Приложение I

Древнеегипетские инструменты

Инструменты, изображенные на рис. 44 и фотографиях 62–65, дают нам достаточно полное представление о том, какие приспособления использовали древние архитекторы, каменотесы и строители. Все они хранятся в Каирском музее, за исключением бобины с веревкой, которая находится в музее Метрополитен в Нью-Йорке.

Среди не приведенных на фотографиях инструментов следует отметить линейку длиной в локоть, тесло каменотеса, мотыгу изготовителя кирпичей и «клинья с щёчками». Изображение линейки мы не стали приводить по той причине, что ее описание дает четкое представление о том, как она выглядела, а также потому, что Каирский музей обладает всего одним экземпляром этой палки – очень грубой, с неточной разметкой, – которая была найдена в гробнице Сеннеджема в Фивах. Прекрасные деревянные образцы из могилы Тутанхамона, выставленные в музее, пока еще недоступны для описания.

Хотя плотницкие тесла и их модели хорошо известны, пока еще не найдено ни одного, которое применялось бы для обработки камня. Форма лезвия с течением времени сильно изменилась, но способ его прикрепления к ручке остался практически неизменным (рис. 7).

Было найдено много мотыг, которые использовались людьми, изготовлявшими кирпич. Они всегда делались из дерева, и «острие» лезвия входило в углубление в ручке. Лезвие и ручка удерживались под нужным углом пальмовой веревкой (рис. 136). Мотыга с металлической ручкой, называемая фас или турья, в той форме, которая используется в Египте в наши дни, появилась не ранее римского периода.

Железные клинья и «щёчки» были найдены в Рамессеуме, но они относятся к самым последним династиям, если не к римскому периоду.

Мы не стали помещать фотографии египетских молотков, поскольку их можно хорошо рассмотреть на рис. 7, где изображены древние кораблестроители. Молотков современного вида, то есть с металлической головкой, относящихся к династическим временам, найдено не было: не представлены они и на росписях на стенах гробниц.

Мы не смогли найти образцов изображений двух инструментов, которые, должно быть, были хорошо известны в Древнем Египте, а именно кирки и контрольной пластины. Это относится и к трубчатому сверлу, которое широко применялось.

Приложение II

Хронологическая таблица

Даты правления фараонов начиная с XVIII династии можно установить с довольно большой точностью, что же касается дат предшествующих периодов, то среди ученых нет единого мнения. Все зависит от того, сколько времени, по мнению того или иного специалиста, прошло между XII и XVIII династиями – много или мало [63].

Поскольку общепринятой является теория, гласящая, что промежуток между этими династиями был не так уж велик, авторы книги при составлении списка фараонов придерживались именно этой системы и до XXV династии включительно следовали хронологии, составленной доктором Дж. Г. Брестедом.

В приведенном ниже списке указаны имена только тех фараонов, которые упоминаются в этой книге. Цифра, стоящая перед именем фараона, указывает, каким по счету царем он был в своей династии.