Невероятно – не факт, стр. 12
С моей точки зрения, любой писатель, который вмешивает «перст судьбы» в жизнь своих героев, никогда не может написать стоящую вещь. Разумеется, всегда проще командовать героями, если перипетии романа определяются тем, кто с кем «случайно» встретился, кто в какой момент догадался погибнуть или спастись… Легко навести героя на путь истинный, заставив его сломать ногу в то время, когда он направляется свершить прелюбодеяние или идёт на рынок загнать налево продукцию своего завода. Гораздо труднее обосновать сюжет романа психологией героев и социальным фоном, на котором развиваются события. А только на этом пути рождаются стоящие художественные произведения.
Все попытки даже самых великих писателей, таких, как Л. Толстой, создать литературное произведение, в котором случайности были бы возведены в ранг предопределенностей судьбы, кончались крахом. Анна Каренина бросается под поезд вовсе не потому, что судьба наказывает её за измену супругу. Вся ткань романа показывает, что такой конец естествен для Анны, что он возможен лишь потому, что Анна принадлежит к обществу именно с такой, а не иной моралью. Читателю ясно – будь Анна не Анной или принадлежи она не к российскому дворянству, а к другой среде, конец романа был бы иным, и отмщение не состоялось бы.
И одна из задач нашей книги, темой которой является вероятность, как раз и состоит в том, чтобы развенчать всяческую разновидность фатализма, предостеречь читателя от поисков обоснования событий там, где это обоснование невозможно, где события являются чисто случайными.
В своей очень интересной статье, посвящённой мифотворчеству Томаса Манна, Станислав Лем показывает, что непонимание законов случая лежит в основе многих мифов. Лем приводит характерный пример. Жители одной африканской страны верят в то, что львы делятся на две категории: на львов, которые просто львы, и на львов, в которых переселились души умерших людей. Обыкновенные львы кушают людей, а львы с человеческой душой не питаются своими духовными родственниками.
Таким образом случайность изгоняется, и трапезы львов получают своё истолкование. К сожалению, миф не даёт нам возможности заранее узнать, с каким львом мы имеем дело; его категория выясняется лишь после его обеда.
Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.
С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели её ребёнка. Ребёнок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери – вещун», или «Материнская любовь – большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и т.д. и т.п. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.
С другой – владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определённый класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».
Математик спешит на свидание
– Ты не забыл, что завтра мы идём в консерваторию?
– Ну конечно, нет.
– Заедешь за мной?
– Дел невпроворот. Давай мне билет, я приду один.
– Вот так всегда. Опять подруги надо мной посмеются. Завела, скажут, кавалера, который с тобою и показаться не желает.
– Ну ладно, давай встретимся. Где?
– У входа в продуктовый, что поближе к Никитским воротам.
– Так это на другой стороне улицы.
– Конечно. Мне не хочется, чтобы видели, как я тебя жду.
– Неизвестно, кто кого будет ждать… Но знаешь, завтра мне и правда время рассчитать трудно. От 18.00 до 19.00 я буду на месте как штык, а точнее – не скажу.
– Выходит, я час тебя буду ждать?
– Я и говорю: встретимся на месте.
– Не хочу.
– Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17.40 и 18.40. И ждём не более двадцати минут.
– А если ты придёшь в 18.00, а я в 18.30?
– Значит, я буду уже в зале.
– Да так мы никогда не встретимся на улице.
– Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?
– Да не берись за карандаш, горе ты моё. И надо было влюбиться в математика…
Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюблённых математика и девушки, далёкой от чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.
Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.
Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путём. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придётся прибегнуть к нехитрому рисунку.
Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия – ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.
Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.
Девушка пришла в 18.00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17.40 до 18.20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.
Если девушка пришла в 18.20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18.00 часами и крайним сроком – 18.40. Вот вам третий отрезок.
Теперь ещё одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18.40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18.20.
Что же дальше? Где же искомая вероятность? Нетрудно догадаться, что она будет равняться частному от деления площади заштрихованной области на площадь всего квадрата.
По сути дела, определение вероятности остаётся тем же – благоприятные варианты относятся ко всем возможным. Но если ранее мерой было число случаев, то теперь мерой является площадь на графике.
Два незаштрихованных треугольника образуют квадрат со стороной, соответствующей 40 минутам. Его площадь 40. Таким образом, искомую вероятность получим, поделив (3600-1600) на 3600. Итого 5/9.
Будем надеяться, что математик встретится со своей девушкой.
Применение теории вероятностей к событиям с непрерывным рядом исходов намного расширяет её возможности.
Одной из исторически первых задач такого рода была проблема, поставленная и решённая французским естествоиспытателем XVIII века Бюффоном.
На большом листе бумаги начерчен ряд параллельных линий. Наобум бросается игла, длина которой много меньше расстояния между линиями на бумаге. Игла может пересечь одну из линий, а может очутиться и между линиями. Надо оценить вероятность того, что пересечение произойдёт.
Предполагается, что центр иглы с равной вероятностью может попасть в любое место бумажного листа. Так же точно считается, что угол наклона иглы к начерченным линиям может принять какое угодно значение. Если игла попадёт на середину между линиями, то она не пересечёт линии, как бы она ни оказалась повёрнутой. Если же центр иглы очутился вблизи линии, то пересечение не произойдёт, если игла установится параллельно линии или около того, и напротив, игла пересечёт линию, если образует угол, близкий к прямому. Получается так: чем ближе к линии попадёт центр иглы, тем больше вероятность её пересечения.