Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц], стр. 39
Прогрессіи. Прогрессіей, какъ изв?стно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцред?ленномъ порядк? уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, ?, ?, ,?, 1/16, и такъ дал?е, потому что пом?щенныя зд?сь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ари?метики прогрессіи считались необходимой главой и пом?щались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го в?ка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія см?шивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ
«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и разд?ляются на три вида, иже суть: ари?метическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ н?сть треба намъ глаголати. Въ ари?метическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».
И т. дал?е.
Въ иныхъ старинныхъ ари?метивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда посл?довательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.
Прим?ры на правило Алъкархи можно привести такіе:
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6
13+23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15
и т. д.
Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встр?чаются въ учебникахъ ари?метики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отд?ловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ари?метика, а алгебра.
Извлеченіе корней до самаго посл?дняго времени входило въ составъ ари?метики и содержалось даже въ н?которыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго стол?тія, напр., въ задачник?, изданномъ департаментомъ народнаго просв?щенія, им?лись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отд?лъ, д?йствительно, вполн? числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ари?метики, но только въ томъ б?да, что трудно провести хорошее объяененіе этого д?йствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.
Ум?ли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были изв?стны начала алгебры и даже въ такой м?р?, что они могли р?шать квадратныя уравненія. Поэтому вполн? сл?довало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.
Тройное правило.
Н?тъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя среднев?ковыхъ ари?метикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо вс?хъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ н?мецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше вс?хъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ regle doree—золотого правила. Оно противополагалось ц?лой наук?—алгебр?.
За что же воздаются такія неум?ренныя похвалы отд?лу, который въ наше время привыкъ занимать уже бол?е скромное м?сто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ? вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику ц?лей, которыя пресл?довала ари?метика съ древнихъ временъ.
Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Зат?мъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда бол?е медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее д?йствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же рост? наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только ум?нье, даетъ челов?ку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ари?метика. Съ одной стороны греческіе ученые вид?ли въ ари?метик? бол?е всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зач?мъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе д?йствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотр?ли на ари?ыетику скор?е со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сд?лать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ среднев?ковую Европу. Въ ней оно встр?тило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполн? благодарной: посл? великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ д?лать», а не «почему такъ д?лать». И вотъ практическая окраска осталась за ари?метикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вм?ст? съ т?мъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встр?чалось «такъ д?лай», «д?лать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и прим?нять къ д?лу; у нашего Магницкаго тоже встр?чается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобр?тенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ари?метики, въ ней особенно выд?лялось и ц?нилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.
«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ари?метик? XVII в?ка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товар?хъ и торг?хъ силу знаютъ и во всякихъ в?с?хъ и м?рахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи з?ло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».
Но какая же часть ари?метики можетъ бол?е дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не р?шеніе задачъ? Поэтому вс? старанія среднев?ковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продаж?, и о покупк?, о векселяхъ и о процентахъ, о см?шеніи, объ обм?н?; пестрота была ужасная и разобраться во всей масс? задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть н?сколько сгруппировать и ввести н?которую систему и порядокъ, пытались распред?лить вс? задачи по отд?ламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распред?лялись не по способамъ ихъ р?шенія, какъ бы сл?довало, а по ихъ содержанію, т. е. по вн?шнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о д?вицахъ и т. п.
Р?шеніе задачъ съ разд?леніемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать р?шеніе. Да и понимать-то, по мн?нію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.
«Это ничего», ут?шаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».