Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц], стр. 38

Мы разсмотр?ли до сихъ поръ, к?мъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе усп?хи он? сд?лали въ XVII стол?тіи. Въ сл?дующеvъ в?к?, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ м?сто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ари?метик? н?мецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ари?метики он? уже зам?нены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, прим?няетъ десятичныя дроби только къ м?рамъ длины. Самое трудное изъ д?йствій — д?леніе онъ производитъ по такому правилу: надо д?лить, какъ ц?лыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера д?лимаго вычесть номеръ д?лителя. Вотъ прим?ръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).

При такомъ пріем? получается въ отв?т? дв? дроби: десятичная 3 и обыкновенная⁴²/₃₂₁, такъ какъ въ остатк? получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ сов?туетъ приписывать къ д?лимому постепенно нули, до т?хъ поръ, пока, наконецъ, д?леніе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совс?мъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословиц? «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му в?ку.

Непрерывныя дроби.

Непрерывныя дроби. Еще у египтянъ встр?чаемъ мы дроби, у которыхъ числитель не ц?лое число; онъ самъ представляетъ изъ себя дробь, напр.

это значитъ 2 вооьмушки и еще сверхъ того треть восьмушки. Так-же и у римлянъ нер?дко ножно было встр?тить

унціи, т. е. 1 дв?надцатую и еще ? дв?надцатой,

Такимъ образомъ и въ древнемъ мір? идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только ц?лое число, но и см?шанное.

Греческій математикъ Архимедъ прим?нялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ н?которые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ прим?няетъ ихъ къ д?ленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется разд?лить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва д?лимъ 253 на 8, будетъ 31?, потомъ полученное д?лимъ на 7, будетъ

и, наконецъ, д?лимъ на 5, будетъ

а это, обыкновенно, пр?дставляется такъ:

и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее ясн?е, то

вычислить ее можно такъ:

Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ вид? непрерывной дроби величину ?/4 = 0, 78539316... (? показываетъ отношеніе длины окружности къ длин? ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, н?мецкій ученый 18 в.

Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

Не только въ одной ари?метик?, но и почти во вс?хъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изсл?дованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то зам?няется другимъ. Ари?метика не мало за свою многов?ковую жизнь потерп?ла изм?неній. Началась она съ вычисленій надъ ц?лыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, зат?мъ рядъ другихъ отд?ловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отд?льности.

Пропорціи первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное м?сто, он? прим?нялиеь къ подобію фигуръ; и такъ какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменит?йшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла вс?хъ поздн?йшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незам?нимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отд?ловъ отд?лъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на посл?дующія покол?нія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинств? учебниковъ. Вкратц? по отношенію къ ари?метик? его можно охарактеризовать т?мъ, что пропорціямъ отводится въ ари?метик? бол?е высокое м?сто, ч?мъ он? заслуживаютъ, и на нихъ бол?е обращаютъ вниманія, ч?мъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ари?метияи и ея ц?лями. Всякій, кто проходилъ ари?метику въ школ? и изучалъ пропорціи, вспомнитъ нав?рное, что этотъ отд?лъ вызывалъ въ немъ недоум?ніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И д?йствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ари?метики и ввести въ составъ буквеиной, общейари?метики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ари?метики, но он? излагаютъ н?которыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ари?метик? не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебр?: тамъ ихъ естественное и законное м?сто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ари?метическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ бол?е наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Вс? эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и р?шаться приведеніемъ къ единиц?, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скор?е ведутъ къ ц?ли и могутъ бол?е изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ прим?неніе пропорцій, сравнительно съ т?ыъ, какое имъ дается въ ари?метик?, Напр., бываютъ въ ари?метик? задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый челов?къ, даже неучившійся ари?метик?, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно д?лается уступка и сл?д. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а н?сколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гд? расходится ари?метіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при н?которой неосторожности ученики вм?сто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій н?что сумбурное и несообразное, доходящее даже до изв?стныхъ курьезовъ, въ род?: «одинъ челов?къ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вм?ст? два челов?ка». Мы, конечно, см?емся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нел?пый отв?тъ только тупостью ученика; н?тъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ари?метик? отд?лъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отд?ловъ.