Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц], стр. 23

—Учитель: «24?26!»

—Ученикъ: «20?30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 ? 98!»

—Ученикъ «90 ? 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій прим?ръ годится для этого правила, а только такой, гд? бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ сумм? десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ прим?ровъ сл?дующее: надо десятки помножить на сл?дующіе десятки (40?50=2000), а единицы просто перемножить (1?9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобр?татель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ посл?дній прим?ръ: 41?49. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 ? 40 все равно, что 40 ? 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, д?йствительно, даютъ при устномъ счет? громадную выгоду и удобство. См?ло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ари?метики.

Д?леніе.

«Dura cosa e la partita»—звучитъ старинная итальянская поговорка, которая значитъ въ русскомъ перевод?: «трудная вещь—д?леніе». Не даромъ Лука де-Бурго, итальянскій математикъ XVI в?ка, ут?шаетъ начинающихъ учиться юношей и говоритъ, что «кто ум?етъ д?лить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается въ д?леніи». И нашъ Магницкій не отстаетъ въ этомъ случа? и тоже, кончивши д?леніе, вздыхаетъ свободно и назидаетъ своихъ «мудролюбивыхъ отроковъ» стихами:

Трудно д?леніе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизм?римо, безконечно трудн?е было оно въ старинныя времена и особенно въ начал? среднихъ в?ковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не усп?ло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кром? того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ д?тей и требовалъ отъ нихъ нечелов?ческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать д?леніе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ род? нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ д?тямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ д?йствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неум?нье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное пов?рье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней усп?вать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. См?шно теперь слышать, что среднев?ковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и д?ленія: в?дь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школ? и всякая д?вочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Он?, конечно, нужны, но лишь въ такой м?р?, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неусп?ха сл?дуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначал?, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вм?сто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и д?ло пропало, при томъ пропало бол?е, ч?мъ въ какомъ бы то ни было другомъ предмет?, потому что въ математик? все посл?дующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ д?ленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе д?ленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего зам?тимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его бол?е всего. Первые намеки на него мы можемъ вид?ть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ бол?е ясной форм? онъ встр?чается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ н?мецкой литератур? можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотек? и принадлежащую къ XII в?ку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности зд?сь идетъ вычисленіе на абак?. Прим?ръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ д?йствія, какъ видимъ, такой: подписавши д?лителя и его высшій разрядъ, пом?щаемъ подъ нимъ д?лимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ д?лител? кром? 20000 есть еще другіе разряды, сл?д. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2?4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ посл? высшаго разряда д?лителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; дал?е множимъ на частное десятки д?лителя, ихъ всего 2, 2?4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 зам?нить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3?4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего посл? д?ленія ии?емъ въ остатк? 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ прим?р? мы наблюдаемъ ходъ д?йствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что м?ста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены д?лимое, д?литель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Сл?дующій разъ мы встр?чаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежутк? между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII в?ка, в?дь, очевидно, и тогда было д?леніе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совс?мъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX в?ка и въ начал? его исчез, о немъ р?чь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего д?ленія, который встр?чается у Луки де-Бурго, итальянца. Разд?лить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только д?литель и частное пишется вверху; а не сбоку.

3) Въ знаменитомъ труд? по ари?метик?, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встр?чается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).

Частное пишется въ самомъ верху. Цифры д?лимаго не сносятся внизъ, но вм?сто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда д?лителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отд?льно на частное и отд?льно же вычитаются. Д?литель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Зд?сь повторяется опять то же, что мы вид?ли и въ умноженіи, гд? множитель переписывался н?сколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ сл?дующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще тогда, когда вычисленія шли на абак?, покрытомъ пескомъ, и когда, сл?д., легко было д?лителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ т?ми разрядамі, которые д?лятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между т?мъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затрат? лишняго труда, къ потер? времени и м?ста. Вотъ что значитъ инерція, не просв?тленная лучами разума!