Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц], стр. 16
Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства среднев?ковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ д?лать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; дал?е ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Прим?ръ:
1 1 1 1
5 3 7 3 9
2 8 2 6 5
—————————
7 1 9 9 4
8 2 0 0
Вотъ каково недов?ріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.
Въ этомъ род?, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ари?метик? въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ зам?чать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель н?мецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи вс? числа, которыя стоятъ на первомъ м?ст?; если получится отъ сложенія дв? цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ ум?, съ т?мъ, чтобы прибавить ее къ сл?дующей; такъ же поступай и со вс?ми остальными. 3-е правило: Въ конц? ничего не надо держать въ ум?, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», наприм?ръ, три да четыре—семь.
Въ настоящее время способъ сложенія тотъ же, что и въ старину. Правда, мы всегда начинаемъ д?йствіе съ правой руки, когда вычисляемъ письменно, въ старину же д?лали и съ л?вой. Кром? того, наши ученики нер?дко относятоя совершенно сознательно къ д?йствію и понимаютъ, что и для чего д?лается. Но въ общемъ характеръ сложенія не изм?нился сь самыхъ т?хъ поръ, какъ установилась индусская система съ ея нулемъ и значеніемъ цифръ по м?сту, ими занимаемому.
Н?которыя особенности можно отм?тить только въ сл?дующихъ трехъ пріемахъ, которые принадлежатъ индусамъ, арабамъ и грекамъ.
Арабскій ученый Алькальцади (XV в.), сов?туетъ писать сумму надъ слагаемыии, а внизу пом?щать т? цифры, которыя мы обыкновенно держимъ въ ум?. Наприм?ръ, дано сложить 48 съ 97-ю. Получится такое вычисленіе:
145
———
97
48
1
Такое записываніе довольно неудобно, потому что при немъ необходимо впередъ приготовить м?сто для суммы.
Греческій монахъ Максимъ Планудесъ (XIV в.), единственный представитель математическихъ знаній во весь византійскій періодъ греческой исторіи и къ тому же ученый не самостоятельный, а черпавшій свои пріемы изъ арабскихъ источниковъ, предлагаетъ записывать сумму надъ слагаемыми, а не подъ ними, въ остальномъ же его cпособъ сходенъ съ нашимъ.
Индусы, какъ бол?е всего расположенные къ устному счету, вводили въ сложеніе, сравнительно съ другими народами, мен?е механичности и cтарались развивать въ ученикахъ сообразительнооть, быстроту вычисленій и ум?нье упрощать д?йствія. При многозначныхъ числахъ они писали слагаемыя въ строку и складывали ихъ по разрядамъ. 365+867+992 индусы вычисляли такъ: 5+7+2=14, 6+6+9=21, 3+8+9=20; всего 2224. Такъ идетъ д?ло у индусскаго писателя Баскары (XII в. по Р. X.).
Заканчивая эту главу, упомянемъ еще о терминахъ сложенія, т.-е. о названіи д?йствія и объ именахъ данныхъ и искомыхъ при немъ чиселъ. Среднев?ковая ари?метика вводила массу терминовъ. Такъ, вм?сто «сумма», говорилось еще: аггрегатъ, коллектъ, продуктъ. Вм?сто «сложить», итальянскій ученый Тарталья приводитъ ц?лыхъ 12 терминовъ. Въ старинныхъ русcкихъ ари?метикахъ слагаемыя назывались перечнями, а сумма — исподнимъ большимъ перечнемъ, очевидно, потому, что принято было писать ее внизу, подъ малыми перечнями.
Вычитаніе ц?лыхъ отвлеченныхъ чиселъ
До настаящаго времени изв?стно всего на всего 5 способовъ письменнаго вычитанія многозначныхъ чиселъ, считая въ томъ числ? и тотъ, который у насъ общепринятъ теперь. Начнемъ съ него. Мы производимъ письменное отниманіе отъ правой руки къ л?вой, чтобы удобн?е было занимать, а это приходится д?лать всякій разъ, когда какой-нибудь разрядъ вычитаемаго не отнимается отъ разряда уменьшаемаго. Въ противоположноеть этому порядку, арабскій математикъ Бенъ-Муза, жившій при двор? халифа Аль-Мамума въ IX в. по Р. X., настаиваетъ на вычитаніи съ высшихъ разрядовъ, т.-е. отъ л?вой руки къ правой; причины онъ не объясняетъ, а просто говоритъ «такъ полезн?е и легче». Вовсе не легче, прибавимъ мы отъ себя, потому что, если случается занимать, то нужно бываетъ перетирать цифры. Впрочемъ, весьма возможно, что Бенъ — Муза вычислялъ на песк?, на абак?, и ему ничего не стоило перем?нить лишній разъ цифру; но очень неразсчетливо поступаютъ т? авторы, которые ведутъ вычисленія на бумаг?, а правила даютъ такія, какія пригодны толькодля абака: в?дь на абак? все можно стереть и все зам?нить новымъ, а на бумаг? постоянныя перечеркиванья приводятъ къ путаниц?, сбивчивости и къ лишнимъ усложненіямъ. Вотъ прим?ръ, взятый изъ одного н?мецкаго сборника XIII в?ка. Дается вычесть 144 изъ 810; отнимаемъ 4 отъ 810, получится 806; при этомъ цифры 1 и 0 мы зам?няемъ цифрами 0 и 6. Дал?е, вычитаемъ 4 десятка изъ 0, надо занять сотню, остатокъ будетъ всего 766; при этомъ цифры 8 и 0 зам?нились другими: 7 и 6. Когда, наконецъ, вычтемъ 100 изъ 766, то получимъ искомый отв?тъ 666. Такимъ путемъ посл? трехъ изм?неній цифръ приходимъ мы къ отв?ту 666.
Максимъ Планудесъ, византійскій математикъ XIV в?ка, вычитаетъ точно такъ, какъ мы, но пишетъ вс? вычисленія гораздо подробн?е, такъ какъ не над?ется на устный счетъ и приводитъ все д?ло къ механическому записыванію. Если бы потребовалось вычесть 26158 изъ 35142, то по Планудесу мы, во-первыхъ, должны были бы остатокъ записать вверху, надь чертой, точно такъ, какъ и сумму онъ же рекомендуетъ писать вверху надъ слагаемыми:
08984
—————
24031
35142
26158;
во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ д?йствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вм?ст? съ ней 12; 8 изъ 12=4, сл?довательно, простыхъ единицъ въ отв?т? 4. Вычитая дал?е десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отв?тъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.
Во вс?хъ разобранныхъ прим?рахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который прим?няется и въ нашемъ настоящемъ способ? вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать д?йствіе, и гд? записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ ум?, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое м?сто во всемъ вычитаніи. Во вс?хъ прим?рахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, ч?мъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ д?йствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ вс? предыдущіе прим?ры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.