Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц], стр. 13

Д?леніе чиселъ на четныя и нечетныя изв?стно было еще въ древнемъ Египт?; оно же было вполн? изв?стно и Пи?агору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром? того, пи?агорейцы разд?лили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ д?лителей, а составными т?, которыя можно представить въ вид? произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотр?ли и на ари?метику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; д?йствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа? на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрм?ръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.

Еще пи?агорейцы выд?лили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сос?днихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и д?леніемъ на 2; вотъ прим?ры треугольныхъ чиселъ: 10=^4·5/₂, 15=^5·6/₂, 21=^6·7/₂, 28=^7·8/₂, 36=^8·9/₂ и т. д.

Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа сл?дующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Кром? того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разум?лись такія, которыя равны сумм? вс?хъ своихъ д?лителей, считая единицу; самый легкій прим?ръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ прим?ромъ можетъ служить число 496; если сложить вс?хъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм? получимъ опять 496; множители сл?дующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм? д?лителей другого; лучшимъ прим?ромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ д?лители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вм?ст? 284, а у второго д?лители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм? число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Н?кій Мадштрити, умершій въ Мадрид? въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О ц?ляхъ существующаго» пытается ув?рить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ? расположить. Другой авторитетный челов?къ, н?кто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что д?йствительно эти числа им?ютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на д?л? это испытали и ув?рились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт? въ этомъ же ув?рился.

Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс? эти подразд?ленія и вс? формулы разрабатывались въ школ? Пи?агора и уже отъ поздн?йшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик? и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись зам?чать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отм?чались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:

1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;

10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,

20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,

30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены

и т. д.

Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на разд?леніи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, вс? остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).

Когда св?тъ христіанства распространился изъ Рима на всю Западную Европу, то вм?cт? съ этимъ разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская ари?иетика, но, за неим?ніемъ лучшей, она царила безразд?льно во всей Европ? до XIII–XIV в?ка, со своимъ абакомъ, римскими цифрами и пальцевымъ счетомъ. Скудна и б?дна была теоретическая часть ари?метики, но она ц?нилась т?мъ выше, ч?мъ была б?дн?е. Всл?дствіе этого и разд?леніе чиселъ на пальцевыя, суставныя и сочиненныя бережно хранилось, какъ что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось отъ одного ученаго къ другому даже тогда, когда Европа ознакомилась съ арабской ари?метикой, и дошло почти до нашихъ дней, по крайней м?р?, проявляло признаки жизни въ XVIII в?к?, когда пропалъ и абакъ, в пальцевый счетъ. Римскія цифры оказались еще бол?е живучими, такъ что пом?щаются въ нашихъ ари?метикахъ и проходятся въ школахъ по сегодняшній день. Въ посл?дній разъ мы видимъ пальцевыя, суставныя и сочиненныя числа въ славянской ари?метик? Магницкаго (1703 г.). Въ ней говорится:

Какъ видимъ, въ этихъ объясненіяхъ недостаетъ уб?дительности, да и прим?ры-то взяты непосл?довательно и односторонне. Впрочемъ, авторъ добавляетъ еще объясненіе, которое, пожалуй, не столько уясняетъ, сколько запутываетъ:

Выговариваніе цифръ и чиселъ

Прежде всего, что значитъ слово «цифра»? Могу поспорить съ вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро р?шите этотъ вопросъ и скажете: слово «цифра» значитъ знакъ (а можетъ-быть, вы скажете—знакъ числа). Но это совершенно нев?рно. Слово «цифра» им?етъ совс?мъ другое значеніе и притомъ довольно нео-жиданное: по-русски это будетъ «ничто». Какъ-же такъ „ничто“? в?дь это нуль, а кром? нуля есть еще и значащія цифры, къ которымъ ужъ совс?мъ нельзя прим?нить смысла «ничто»?

Объяснимъ все это недоразум?ніе подробно.

Изобр?татели нуля индусы дали ему названіе «суніа» (Sunya), что значитъ «пустое», и этимъ указали на смыслъ нуля, зам?няющаго пустыя колонны или пустые разряды.

Арабы, перенявши нуль и прим?няя его въ своей ари?метик?, перевели кстати и индусское слово «пустое» на свой языкъ: по-арабски пустое будетъ ас-сифръ. И долго, очень долго сохранялся первоначальный смыслъ этого термина, такъ что цифрой называли только кружокъ, т.-е. нуль. Сравнительно недавно р?шились оставить цифр? нуль ея латинское имя (нуль по-латыни значитъ ничто), арабскій же терминъ распространить на вс? 10 знаковъ индусской системы. Даже въ ари?метик? Магницкаго, о которой мы говорили на предыдущихъ страницахъ, подъ цифрой разум?ется только нуль, кружокъ, или какъ его называли въ XVII в., «онъ» (буква о). Вотъ какъ говоритъ Магницкій: