Искатели необычайных автографов или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков, стр. 69

— Все это очень хорошо, — мнется Фило, — но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, — что тогда?

— Хороший вопрос, — одобряет Асмодеи. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени n.

— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.

(О + Р) = 1,

(О + Р)¹ = О + Р,

(О + Р)² = O² + 2OР + P²,

(О + Р)³ = О³ + ЗО²Р + ЗОР² + Р³,

(О + P)⁴ = О⁴ + 4O³Р + 6O²P² + 4OР³ + Р⁴.

Остается выписать отдельно все коэффициенты:

    1

   1 1

  1 2 1

 1 3 3 1

1 4 6 4 1

— Ой, — изумляется Фило, — ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.

— Умница! — одобрительно зыркает на него Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.

Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.

— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…

— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.

— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.

— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?

— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс, [63] который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.

Фило озабоченно хмурится.

— Бином Ньютона… Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, — декламирует он себе под нос. — Кажется, в десятом классе…

— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…

— От французского «комбинезон» — «сочетание», — поясняет Асмодей.

— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два — C₅². А в общем виде число сочетаний из n предметов по k — C_n^k. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, — чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:

(О + Р)ⁿ = Oⁿ + C_n¹O^n-1P + C_n²O^n-2P² + C_n³O^n-3P³ + … + О^n-kP^k + … + Рⁿ.

— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.

— Могли бы и не спрашивать! Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,

Мате хочет еще напомнить, что 2ⁿ, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает на полуслове и начинает прислушиваться. Вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки теперь доносятся совсем другие, довольно-таки устрашающие звуки.

— По-моему, это храп, — говорит он почему-то шепотом, хотя как раз сейчас опасаться, казалось бы, нечего.

— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.

— Так что же мы здесь сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.

И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в сад.

ВЕРСАЛЬСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

— Чертог сиял! Гремели хором певцы при звуках флейт и лир, — упоенно декламирует Фило, любуясь освещенным дворцом, за окнами которого снуют фигуры причудливо разодетых гостей.

— Не увлекайтесь, мсье, — остерегает его бес. — Поэты ревнивы. Уместно ли, собираясь на спектакль Мольера, цитировать Пушкина?

Тот назидательно поднимает палец.

— Пушкина, к вашему сведению, уместно цитировать всегда! Но мне что-то не нравится эта суета за окнами. Что она означает? Может статься, антракт?

Асмодей делает постное лицо.

— Если бы, мсье!

— Как?! Вы хотите сказать, что представление уже окончилось? Уж эта мне шляпа! Знал бы я, что из-за нее потеряю, никогда не стал бы ее разыскивать…

Но черт полагает, что все к лучшему. Опоздали на одно представление — посмотрят другое, не менее интересное. Кстати, оно уже начинается.

В ту же секунду, словно покоряясь какому-то неслышному приказу, центральные двери дворца распахиваются настежь, пространство перед ним запруживает нарядная костюмированная толпа, и парк наполняется многоголосым растревоженным гулом.

— Неслыханно! — раздается повсюду. — Этот Мольер окончательно обнаглел… Его величество слишком избаловал его своей благосклонностью…

— Подумать только! — захлебывается тонкий визгливый голос, который принадлежит человеку с непомерно толстыми икрами (за спиной у него болтаются золоченые крылышки и лук, из чего следует, что он изображает амура). — Вывести на сцену духовное лицо в качестве проходимца и обманщика! На это способен разве что безумец.

— Безумцам место в сумасшедшем доме, — внушительно басит надменная усатая дама, чей мощный торс чудом втиснут в узкий корсаж балетной пастушки.

— Ваша правда, мадам, — галантно изгибается «амур», выставив толстоикрую ногу в белом чулке. — И будь на то моя воля, уж я бы сумел привести ваш приговор в исполнение!

На дворцовом крыльце появляется мажордом в алой, затканной золотом ливрее.

— Карету ее величества! — провозглашает он, стукнув высоким жезлом о мраморную площадку.