Искатели необычайных автографов или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков, стр. 21
— Как? — удивился Фило. — Разве он до сих пор не известен?
— Был бы известен, не приходилось бы людям мучить машины в поисках очередного простого числа. Впрочем, выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев нашел способ, позволяющий приближенно установить, сколько простых чисел заключено на определенном отрезке натурального ряда. Но это уж разговор не для вас, — поспешно прервал себя Мате, заметив, что Фило приготовился к новому вопросу. — Кстати, знаете вы, что было время, когда способ Эратосфена напоминал решето не только в переносном, но и в прямом смысле?
— Не знаю, но если вы будете столь любезны…
— Буду, буду, — великодушно заверил Мате. — Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой слоем воска. При этом составные числа он не зачеркивал, а протыкал острой палочкой. И вскоре дощечка и впрямь начинала походить на решето.
— Вероятно, решето все-таки не единственное изобретение Эратосфена? — тактично полюбопытствовал Фило.
Вместо ответа Мате вышел в прихожую, порылся в рюкзаке и принес какой-то странный прибор. Осмотрев его, Фило высказал предположение, что Эратосфен питал пристрастие к домашнему хозяйству: сперва изобрел решето, потом — подставку для чайника.
Он приподнял чайник, обнажив лежащую под ним складную металлическую гармошку. Мате подтвердил, что некоторое сходство действительно имеется, но весь фокус в том, что с помощью прибора Эратосфена решалась одна из знаменитых задач древности, тогда как подставка на это решительно не способна.
— Любезный Дон-Кихот, — вкрадчиво попросил Фило, — просветите вашего верного Санчо. О каких знаменитых задачах речь?
Мате посмотрел на друга с досадой и в то же время с тайной гордостью. Право же, любопытство его становится угрожающим!
— А кто выпустил джинна из бутылки? — парировал Фило. — Не вы ли? Вот и расхлебывайте.
Мате махнул рукой.
— Так и быть! С таким чаем расхлебывать не страшно.
— Ага! — просиял Фило. — Я знал, что против моего чая вы не устоите!
ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА
— Нам известны три неразрешимые задачи древности, — начал Мате, — квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба…
— Почему же неразрешимые! — с ходу перебил Фило. — Вы же сами только что сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.
— Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию при решении этих задач можно было пользоваться только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.
— Что за глупое условие! — фыркнул Фило. — Не все ли равно, каким способом решать? Главное — добиться правильного ответа.
— Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, — большое искусство, требующее изобретательности, остроумия, я бы даже сказал — таланта. Недаром задачам на построение уделяется на уроках геометрии особое внимание! Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.
— Увы! — безнадежно вздохнул Фило. — Для этого надо знать геометрию.
— Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской академии было начертано: «Не знающий геометрии да не входит сюда!» И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.
— Вас не поймешь, — рассердился Фило. — То вы говорили, что удвоение куба — задача, теперь это уже история…
Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.
В IV веке до нашей эры на острове Делос в городе Дельфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится тогда, когда в дельфийском храме будет воздвигнут новый жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника — куб — должна оставаться неизменной.
Ознакомившись с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее делийцам не потому, что им не нравится прежний жертвенник, а в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.
— Стало быть, задача показалась ему очень трудной, — заключил Фило. — Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза — вот вам и удвоение!
Мате сказал, что решение поистине царское, и Фило задрал было нос, но выяснилось, что таким образом пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Минос. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, ибо объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе как будто восемь…
Фило, разумеется, сразу сник, но тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.
На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе говоря, несоизмеримое с единицей!
— Ничего, — не сдавался Фило, — можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем — шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати…
— И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух — нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:
— Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?
— Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как работа эта достаточно кропотлива, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра чисто механически.
— Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, — добродушно предположил Фило.
— Это вы хорошо заметили, — похвалил Мате. — Эратосфен тоже был убежден, что Платон бы его по головке не погладил.
— Откуда вы знаете?
— От самого Эратосфена. Он написал сочинение «Платоник», где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения ее обсуждают греческие математики Архит, Менехм, Эвдокс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать отрицательное отношение к подобному способу.
— Знаете, — неожиданно заявил Фило, — на месте Платона я бы рассуждал точно так же. По-моему, людям не следует избавлять себя от необходимости думать.
— Возможно, — кивнул Мате, — но у Платона были на этот счет и другие соображения, связанные с его мировоззрением. Как философ-идеалист, он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку, предметом которой, по его мнению, должно быть только отвлеченное, высокое, бесконечное. Кроме того (это уж моя собственная догадка!), всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения…