Большая Советская Энциклопедия (НА), стр. 174
Введение
(так называемая «теорема о дедукции», см. Дедукция )
(reductio ad absurdum, или приведение к нелепости, см. Доказательство от противного ) Удаление
(так называемое доказательство разбором случаев)
(modus ponens, или схема заключения)
(так называемый закон снятия двойного отрицания). (В скобках указана интерпретация некоторых правил в терминах традиционной логики; интерпретация остальных правил — та же, что у соответствующих аксиом обычного исчисления высказываний, перефразировками которых они являются.) Добавление к этому списку соответствующих правил введения и удаления для кванторов приводит к Н. и. предикатов. Замена правила
Доказательство в Н. и. — это, как обычно, вывод из пустого множества посылок. В формулировках Н. и., подобных приведённой, в которых нет аксиом (кроме, быть может, А А), источником получения «логических законов», выражаемых формулами, доказуемыми без привлечения каких бы то ни было гипотез (посылок), оказывается правило E-введения. Гибкость аппарата Н. и., близость его к привычным формам содержательных рассуждений и простота получающихся выводов делают его удобным орудием логико-математического исследования. Н. и. полезно и в тех случаях, когда применяются другие системы логики: в качестве источника выводимых (дополнительных) правил вывода, применение которых также значительно упрощает логический аппарат, а также для получения эвристических (предварительных, подлежащих дальнейшему обоснованию) доводов, которые так или иначе должны предшествовать любому формальному доказательству (как источник доказываемых или опровергаемых гипотез).
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 20, 23; Генцен Г., Исследования логических выводов, пер. с. нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969. См. также лит. при ст. Правило вывода .
Ю. А. Гастов.
Натуральное обязательство
Натура'льное обяза'тельство, см. в ст. Обязательство .
Натуральное хозяйство
Натура'льное хозя'йство, тип хозяйства, при котором производство направлено на удовлетворение собственных потребностей производителя. «При натуральном хозяйстве общество состояло из массы однородных хозяйственных единиц... и каждая такая единица производила все виды хозяйственных работ, начиная от добывания разных видов сырья и кончая окончательной подготовкой их к потреблению» (Ленин В. И., Полное собрание соч., 5 изд., т. 3, с. 21—22). Н. х. возникло в глубокой древности и господствовало на стадии, когда ещё не было общественного разделения труда, обмена и частной собственности. В рабовладельческом обществе и при феодализме Н. х. оставалось господствующим, несмотря на развитие обмена и товарно-денежных отношений. К. Маркс указывал, что Н. х. преобладает на базисе всякой системы личной зависимости, как рабской, так и крепостнической (см. К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., 2 изд., т. 24, с. 544). Для Н. х. характерны замкнутость, ограниченность, традиционность и разобщённость производства, рутинная техника и медленные темпы развития. С углублением общественного разделения труда Н. х. постепенно вытесняется товарным производством. При капитализме в крестьянских хозяйствах сохраняются черты и пережитки Н. х. В переходный период от капитализма к социализму в некоторых странах Н. х. сохраняется как один из экономических укладов. Среди существовавших в России сразу после Октябрьской революции 1917 общественно-экономических укладов В. И. Ленин называл «... патриархальное, т. е. в значительной степени натуральное, крестьянское хозяйство» (Полное собрание соч., 5 изд., т. 36, с. 296).
Н. х. длительное время сохранялось в экономически отсталых районах земного шара (Азия, Африка, Латинская Америка), где до колонизации их европейцами господствовали родо-племенные или феодальные отношения. В странах, освободившихся от колониальной зависимости (в особенности в странах «капиталистической ориентации»), в середине 20 в. 50—60% населения занято в натуральном или полунатуральном хозяйстве.
Лит.: Маркс К., Капитал, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23—25; Ленин В. И., Развитие капитализма в России, Полн. собр. соч., 5 изд., т. 3; Проблемы индустриализации развивающихся стран, М., 1971.
Т. К. Пажитнова.
Натуральные лады
Натура'льные лады' в музыке, группа семиступенных строго диатонических ладов, не включающих видоизменений основных ступеней — хроматизмов, альтераций (см. Диатоника ). Н. л. издавна распространены в народной и профессиональной европейской и внеевропейской музыке. К ним принадлежат следующие (полные и неполные) лады: эолийский (натуральный минор), ионийский (натуральный мажор), дорийский, миксолидийский, фригийский, лидийский, редко встречающийся локрийский, а также переменные диатонические лады и все виды ангемитонной пентатоники .
Названия основных диатонических Н. л. были заимствованы из древнегреческой музыкальной теории, однако эти лады не соответствуют по структуре имеющим те же названия древнегреческим диатоническим ладам (см. Древнегреческие лады ).
Н. л. обладают разнообразной окраской звучания. Например, миксолидийский отличается просветленным минорным колоритом, лидийский — характерной усиленной мажорностью и т.п. В 19—20 вв. различные композиторы (М. П. Мусоргский, Н. А. Римский-Корсаков, И. Ф. Стравинский, Э. Григ, Б. Барток, К. Дебюсси и др.) часто используют Н. л. и опирающуюся на них натуральную гармонию в связи с особыми выразительными задачами и в колористических целях. Понятие Н. л. условно. Слово «натуральный» означает «данный природой», «естественный». Однако, если для европейской музыки натурален диатонизм, составляющий её ладовую основу, в восточных музыкальных культурах столь же природными, т. е. натуральными, являются и лады, включающие недиатонические интервалы, например увеличенную секунду.
Лит.: Тюлин Ю., Натуральные и альтерационные лады, М., 1971; Котляревський I., Дiaтонika i хроматика як категорii музичного мислення, Киiв, 1971.
Ю. Н. Холопов.